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2014届高三人教a版数学理一轮复习：选修41第2节直线与圆的位置关系

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常见问题

1、第二节直线与圆的位置关系,1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的_的一半 2圆心角定理及推论定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1：_所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的_也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_,圆心角,同弧或等弧,弧,直角,直径,3圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理定理1：圆的内接四边形的对角_ 定理2：圆内接四边形的外角等于它的_ (2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点_ 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的_，那么这个四边形的四个顶点_,互补,内角的对角,互补,共圆,对角,共圆,4圆的切线的性质及判定定理 (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且_于这条半径的直线是圆的切线 (2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过_ 5弦切角定理定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_,垂直,半径,切点,圆心,圆周角,6与圆有关的比例线段,

2、相等,相等,切线长,相等,平分,1“相等的圆周角所对的弧也相等”对吗？【提示】不对只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等 2任意一个四边形都有外接圆吗？三角形呢？【提示】任意一个四边形不一定有外接圆，但任意一个三角形一定有外接圆,图24 1(人教A版教材习题改编)如图24所示，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于_ 【解析】 ACB30， AOB2ACB60， AOB是等边三角形,ROAAB4. O的面积SR216. 【答案】 16,图27 4(2012广东高考)如图27所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB_,图28 (2011广东高考)如图28所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB_,1解答本题的关键是根据角相等得到三角形相似，再根据相似三角形的性质得到边之间的关系 2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角,图29 (2012广东高考)如图29所示，圆O的半

3、径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_,图30 如图30所示，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.若BAC35，则CAD_,【思路点拨】利用切线垂直于过切点的半径，由线线垂直，得线线平行，进而得到角度之间的等量关系【尝试解答】连结OC. CD是O的切线， OCCD. 又ADCD， OCAD.由此得ACOCAD.,OCOA， CAOACO. CADCAO. 又CAOBAC35，故CAD35. 【答案】 35,1若知圆的切线，一种自然的想法就是连结过切点的半径，从而得到垂直关系 2证明某条直线是圆的切线的常用方法有：(1)若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可；(2)若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径,图31 如图31所示，AB是O的直径，O过BC的中点D，DEAC.若ADE50，则ABD_,【解析】连结OD.BDCD，OAOB， OD是ABC的中位线 ODAC. 又DEC90， ODE90. 又D在圆周上， DE是O的切线

4、因此ABDADE50. 【答案】 50,【思路点拨】先根据相交弦定理求出CF，再根据三角形相似求出BD，最后根据切割线定理求CD.,1应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等 2相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用,图33 如图33，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论： ADAEABBCCA； AFAGADAE； AFBADG. 其中正确结论的序号_,【解析】由切线长定理得CECF，BDBF， ADAEABBDACCEABACBC.则正确由切割线定理得，AFAGAD2ADAE，即正确因为ADFAGD，故错误【答案】 ,圆中的角(圆周角、弦切角)以及弦之间的相互转化可以通过它们对应的弧完成圆中的比例线段较多，要记准线段的端点及对应位置，以防出错,与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下三种方法： (1)利用相似三角形； (2)利用切割线定理、相交弦定

5、理； (3)利用角平分线定理,从近两年高考试题来看，圆周角、弦切角定理，圆内接四边形的判定与性质，相交弦定理，切割线定理是高考的热点内容，考查形式主要有两种：一种是求值问题，另一种是证明问题，难度中等偏下在解答证明问题时，一定要注意答题的规范化,规范解答之二十与圆有关的证明问题) 图34 (10分)(2012辽宁高考)如图34，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E.证明： (1)ACBDADAB； (2)ACAE.,【解题程序】第一步：根据弦切角定理证明角相等，从而证明ACBDAB；第二步：利用相似三角形的性质定理证明ACBDADAB；第三步：根据弦切角定理证明角相等，从而证明EADABD；第四步：根据相似三角形的性质定理得AEBDADAB.结合(1)的结论得ACAE.,易错提示：(1)证明本题(2)时，想不到证明EADABD，从而无法解答 (2)证明本题(2)时，没有应用(1)的结论从而无法证明结论成立防范措施：(1)证明线段相等的方法较多，在选择方法时应结合所给条件寻找切实可行的方法，本题中根据条件能得到多对角相等，自然能够想到通过相似三角形证明 (2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用,图35 1(2012湖南高考)如图35所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_,图36 2(2013珠海检测)ABC中，B30，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，则CEF_,【解析】由DEAC，DFBC，点D、E、C、F四点共圆，且CD是外接圆的直径， CEFCDF，在RtDFB中，B30，则FDB60，从而CEFCDF906030. 【答案】 30,课后作业（七十四）,

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