不定式方程(六年级)

1、不定式方程 一：不定方程知识精讲一不定方程的定义1一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程2多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一二不定方程的解法及步骤1常规方法：观察法、试验法、枚举法2多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可3涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较三解不定方程的步骤1列方程2消元3写出表达式4确定范围5确定特征6确定答案四技巧总结1写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数2消元技巧：消掉范围大的未知数三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用题模精讲题模一不定方程的计算例1.1.1、判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解（1）；（2）；（3）；（4）答案：（1）（2）（3）（4）无整数解解析：（1），所以，即得，（2），所以，（3），所以，（4），所以无整数解例1.1.2、已知和分别表示两个自然数，并且，则+=

2、_答案：5解析：依题意得11+5=37，易知其自然数解为=2，=3所以+=5例1.1.3、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为已知a，b，c都小于10，a，b，c依次为_，_， _答案：7，3，2解析：由题意有解这个不定方程，得例1.1.4、已知代表两位整数，求方程的解题模二不定方程的应用例1.2.1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个问：需要大盒子_个、小盒子_个，才能恰好把这些球装完答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个解析：设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：，解得，所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个例1.2.2、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树请问：其中有_名男职工答案：12名解析：设有x名男职工，y名女职工，则孩子有名，依题意得：，整理得：，化简得，解得，其中只有时才是整数，所以有12名男职工例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需19

3、5元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依题意得：注意到题目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少，想办法整体求出观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易，一个比较明显的是可以求出，可以用来调整x和z的系数接着可以让y和w的系数变的一样，得，得，所以故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元（当然本题可以直接看出得到）例1.2.4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米由，得：一定是12的倍数而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长

4、24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米所以剩余部分最少是厘米例1.2.5、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张，1角的有y张，1元的有z张，10元的有w张，依题意得，得，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元例1.2.6、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）答案：191解析：设用了x个13克的砝码，y个17克的砝码，要称的重量为c克，依题意，就是求使无自然数解的c的最大值利用拓展14解法二中提到的结论，c最大取时，无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克例1.2.7、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依题意，模拟的倒几次后会发现，本题和不定方程：和的解有关系先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中，这个解明显要小，下面解释一下它的含义先看它

5、对应的过程：1、倒满1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒满1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒满1.7升；6、1.7升倒入4升中，还剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒满1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒满1.7升；12、1.7升倒入4升，还剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒满1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒满1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒满1.7升；20、倒入4升，还剩1.6升21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒满1.7升；24、倒入4升；25、倒满1.7升；26、倒入4升，还剩1升可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的1.7x减去倒出的4y的差那么就得到了上面的不定方程另一个不定方程同理也很容易想明白例1.2.8、某校开学时，七年级新生人数在5001000范围内，男、女生的比例为到八年级时，由于收40名转学生，男、女生的比例变为请问，该年级入学时，男、女生各有多少人？答案：男生32

6、0人，女生280人解析：设开始时共人，后来变为人，则，易知a为8的倍数，b为5的倍数，故可设，方程化简为，且解得，入学时总人数为人，男生320人，女生280人例1.2.9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1.1、下列方程的自然数解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则答案：（1）（2）（3）无解（4）解析：枚举法随练1.2、小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有_张答案：3张解析：设小高有8分邮票x张，15分邮票y张，依题意得：，解得，所以小高有3张8分邮票随练1.3、将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个现共装了24盒，则用了_个大盒随练1.4、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40

7、分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了_张答案：20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票，y张40分的邮票，z张50分的邮票，依题意得：，消y得，解得，同时还要满足y为整数，经验证当时，符合题意，所以买了20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张课后作业作业1、方程有_组自然数解答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数，即方程有11组自然数解作业2、求的所有整数解答案：为任意整数）解析：先找出一组基本的解，然后写出所有解即可作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解答案：解析：先确定z的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计算正整数解如下：作业4、设A和B都是自然数，并且满足那么_答案：3解析：，又因为A、B为自然数得，作业5、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶问：大油桶_个，小油桶_个答案：大油桶3个，小油桶4个解析：设有

8、x个大油桶，y个小邮桶，依题意得，解得，所以有3个大油桶，4个小邮桶作业6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书已知老师和学生共14人，每名老师能搬12本，每名男生能搬8本，每名女生能搬5本，恰好一次搬完问：搬书的老师_名、男生_名、女生_名答案：老师3名，男生2名，女生8名解析：设搬书的老师有x名，男生有y名，女生有z名，依题意得：，消去z得，解得，所以，所以搬书的老师有3名，男生2名，女生8名作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元小李总共花了97元，买了90支笔请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒解析：设圆珠笔买了x盒，铅笔买了y盒，钢笔买了z盒，依题意得：，消去x得，解得，将y、z代入原方程组，发现只有时，x有自然数解所以买了圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒作业8、卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包，则把系数都化成整数，得：由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一组：也就是令，则它的自然数解只有，所以卡莉娅共买了12包奶糖作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位请问：图书

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