小波变换ppt幻灯片

1、2002秋季学期网上课程 多媒体技术基础与应用 (Multimedia Fundamentals and Applications) (Face to Face 2 of 4),林 福 宗 清华大学 计算机科学与技术系 智能技术与系统国家重点实验室 L 2002年10月9日,2002年10月9日,小波变换与应用,一、小波变换 1.小波 2.小波变换 3. 离散小波变换 二、Haar小波变换 1.哈尔函数 2.求均值和差值 3. 哈尔变换的特性 4.一维哈尔小波变换 5. 二维哈尔小波变换 三、阅读和练习作业,2002年10月9日,一、Wavelet Transform,小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具。它是继110多年前的傅立叶(Joseph Fourier)分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。本教学提纲企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深入研究小波理论和应用提供一些

2、背景材料,2002年10月9日,1. What is wavelet,一种函数 具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波,2002年10月9日,部分小波波形,2002年10月9日,小波的定义,Wavelets are a class of a functions used to localize a given function in both space and scaling. A family of wavelets can be constructed from a function , sometimes known as a “mother wavelet,“ which is confined in a finite interval. “Daughter wavelets“ are then formed by translation (b) and contraction (a). Wavelets are especially useful for compressing image d

3、ata, since a wavelet transform has properties which are in some ways superior to a conventional Fourier transform.,2002年10月9日,An individual wavelet can be defined by,2002年10月9日,2. Wavelet Transform,老课题 函数的表示方法 新方法 Fourier Haar wavelet transform,2002年10月9日,(1) 1807: Joseph Fourier,傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。 为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。,2002年10月9日,傅立叶变换的定义：A mathematical description of the relationship betwe

4、en functions of time and corresponding functions of frequency; a map for converting from one domain to the other. For example, if we have a signal that is a function of time-an impulse response- then the Fourier Transform will convert that time domain data into frequency data, for example, a frequency response. (http:/ 1910: Alfred Haar发现Haar小波,哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets 他最早发现和使用了小波。,2002年10月9日,(3) 1945: Gabor提出STFT,20世纪40年代Gabor开发了STFT (short tim

5、e Fourier transform) STFT的时间-频率关系图,2002年10月9日,(4) 1980: Morlet提出了CWT,CWT (continuous wavelet transform) 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：,2002年10月9日,Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construct any given signal.,where: a = scale variable 缩放因子 k = time shift 时间平移 h* = wavelet function 小波函数 用y = scaled (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet funct

6、ion, 在CWT中，scale和position是连续变化的,2002年10月9日,缩放(scaled)的概念,例1：正弦波的算法,2002年10月9日,缩放(scaled)的概念(续),例2：小波的缩放,2002年10月9日,平移(translation)的概念,2002年10月9日,(5) CWT的变换过程,可分成如下5个步骤 步骤1: 把小波 和原始信号 的开始部分进行比较 步骤2: 计算系数c 。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数 c 的值越高表示信号与小波越相似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度 步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束 步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 步骤5: 重复步骤14,2002年10月9日,(a) 二维图,2002年10月9日,(b) 三维图 连续小波变换分析图,2002年10月9日,(6) 三种变换的比较,2002年10月9日,(7) 1984: subband coding (Burt and A

7、delson),SBC (subband coding)的基本概念： 把信号的频率分成几个子带，然后对每个子带分别进行编码，并根据每个子带的重要性分配不同的位数来表示数据 20世纪70年代，子带编码开始用在语音编码上 20世纪80年代中期开始在图像编码中使用 1986年Woods, J. W.等人曾经使用一维正交镜像滤波器组(quadrature mirror filterbanks，QMF)把信号的频带分解成4个相等的子带,2002年10月9日,图(a) 正交镜像滤波器(QMF),2002年10月9日,图中的符号 表示频带降低1/2，HH表示频率最高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程可以重复，直到符合应用要求为止。这样的滤波器组称为分解滤波器树(decomposition filter trees),图(b) 表示其相应的频谱,2002年10月9日,(8) 20世纪80年代,Mallat, Meyer等人提出multiresolution theory 法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(translations

8、)均为 2的j次幂的倍数构造了平方可积的实空间L2(R)的规范正交基，使小波得到真正的发展 小波变换的主要算法由法国的科学家Stephane Mallat提出 S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨率分析(multiresolution analysis)的概念, 从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性 提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。,2002年10月9日,小波分解得到的图像,2002年10月9日,(9)著名科学家,Inrid Daubechies，Ronald Coifman和 Victor Wickerhauser等著名科学家 把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献 Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实 在信号处理中，自从S.Mallat和Inrid Daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波在信

9、号(如声音信号，图像信号等)处理中得到极其广泛的应用。 ,2002年10月9日,经过十几年的努力，这门学科的理论基础已经基本建立，并成为应用数学的一个新领域。这门新兴学科的出现引起了许多数学家和工程技术人员的极大关注，是国际科技界和众多学术团体高度关注的前沿领域。,小波变换,2002年10月9日,3. 离散小波变换,在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。 为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择 ( j.0的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式。,2002年10月9日,使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图所示。 图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换(short time Fourier transform，STFT)得到的时间-频率关系图 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。,3. 离散小波变换(续),2002年10月9日,离散小波变换分析图,2002年10月9日,DWT变换方法,执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器 该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法 这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码 用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示 S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号 A表示信号的近似值(approximations) D表示信号的细节值(detail),2002年10月9日,在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容

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