信道编码（郭2012年版）课件

1、通信原理,第十二章 差错控制编码,本章内容结构,12.1 引言 12.2 常用的简单编码 12.3 线性分组码 12.4 循环码 12.5 卷积码,12.1 引言,一. 差错控制方法,(3)混合纠错（HEC）,(1)检错重发（ARQ）,(2)前向纠错（FEC）,1. 将信息码分组，为每组信息码附加若干监督码的编码，称为分组码。（系统码） 码组=信息位+监督位,二. 基本概念,2. 分组码的表示：符号（n，k）,n 码组的总位数,k 码组中信息码元的数目,r = n-k 监督码元的数目,3.编码效率,R越大，信息位比重大，有效性越高。,4. 分类：,（1）根据已编码组中信息码元与监督码元之间的函数关系，可分为线性码和非线性码。若信息码元与监督码元之间的关系呈线性，即满足一组线性方程式，则称为线性码。,（2）根据信息码元与监督码元之间的约束方式不同，可分为分组码和卷积码。分组码的监督码元仅与本码组的信息码元有关，卷积码的监督码元不仅与本码组的信息码元有关，而且与前面码组的信息码元有约束关系。,（3）根据编码后信息码元是否保持原来的形式，可分为系统码和非系统码。在系统码中，编码后的信息码元保

2、持原样，而非系统码中的信息码元则改变了原来的信号形式。,（4）根据编码的不同功能，可分为检错码和纠错码。 （5）根据纠、检错误类型的不同，可分为纠、检随机性错误的码和纠、检突发性错误的码。 （6）根据码元取值的不同、可分为二进制码和多进制码。,本章只介绍二进制纠、检错编码。,误码率一定时，非编码系统需要的输入信噪比与采用了纠错编码系统所需的输入信噪比之间的差值。（用dB表示）采用不同的编码会得到不同的编码增益，但编码增益的提高要以增加系统带宽或复杂度来换取。,（1）码组中“1”的个数称为码组的重量。（w）,5.编码增益,6.码重、码距,（3） 某种编码中各个码组之间的距离的最小值称为最小码距（ ）,例：10011 w=3 01101,（2）两个等长码组之间的对应位不同的位数，称为码距。又称为汉明距离。（d）,d=4,例：10011 01101 01010,d1=4,d0=3,d2=3,d3=3,天津工业大学 信息学院 通信原理,（1）,时能检出e个或e个以下错码。,（2）,（3）,时能纠正t个或t个以下错码。,时能检出t个或e个以下错码。,7. e检错能力 t纠错能力,例12-1 已知

3、8个码组为：（O00000），（001110），（010101），（011011），（100011）， （1O1101），（110110），（111000）， （1）求以上码组的最小码距；（2）若此8个码组用于检错，可检出几位错？（3）若用于纠错码，能纠几位？（4）若同时用于纠错和检错，纠错、检错性能如何？,（1）,（2）,（3）,（4）,例12-2 已知两码组（0000）和（1111），若该码组用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于纠错和检错，问各能纠、检几位错码？,（1）,（2）,（3）,一. 奇偶监督码,在信息位后加一位校验位,12.2 常用的简单编码,奇监督码,偶监督码,特点：只能检测出奇数个错码，不能检测出偶数个错码,二. 二维奇偶监督码,行监督位,列监督位,特点：,（1）能检测出每一行（列）中的奇数个或偶数个错码，但不能检测出行列同时成偶数个出现的错码。,（2）能检测突发性错误（成串错码）。,（3）能纠正错码。,三.恒比码：,码组中均含有相同数目的“1”或“0”,特点：能检测出组码中奇数个及部分偶数个码元得错误。（“1”错成“0”和“0”错成“1”

4、 不能检测）。,四.正反码,例：信息位：11001 监督位：11001 信息位：10001 监督位：01110,1.编码规则：,（1）当信息位中有奇数个1时，监督位是信息位的简单重复。,（2）当信息位中有偶数个1时，监督位是信息位的反码。,例：11001 11001=00000 10001 01110=11111,2.译码方法,（1）将码组中的信息码与监督码进行模2加得合成码组。,（2）若信息码中有奇数个1，则合成码组即为检验码组。 若信息码中有偶数个1，则合成码组的反码即为检验码组。,（3）观察检验码组中1的个数，按p278进行检错和纠错。,12.3 线性分组码,一.以（7，4）分组码为例,码字：A=（ ）,其中信息位：,监督位 ：,若分组码可用下列线性方程组表示：,（“+”为模2加 ）,则：该分组码为（7，4）线性分组码（共有16个码字）,性质：,（1）封闭性：任意2个许用码组之和（模2加）仍为一个许用码组。,（2）有零元：,（3）有负元：,（4）结合律成立：,（任一码字即为本身的负元）,二. 监督矩阵H,将上例中的式子改写为：,用矩阵表示为：,并记为：,H阵可表示为：,（ 阶）,

5、（ 阶单位阵）,矩阵H称为（7，4）线性分组码得监督矩阵。上式也称为典型监督矩阵。若不是典型监督矩阵要用初等变换化成典型矩阵。,三. 生成矩阵G,若信息码元已知，通过监督矩阵可以求出监督码元。,用矩阵表示：,或,将上式扩展可以由已知信息码元求得整个码组。,令：,G称为生成矩阵,典型监督矩阵和典型生成矩阵存在以下关系式：,例：（7，4）,全部码字为：,四. 伴随式（校正子）S,设发送码字为 ，接收码字为 ，由于干扰，噪声可能引入误差，使接收码组与发送码组不同，因此有 ，其中 是传输中产生的错误行矩阵。对于二进制码元有:,E矩阵中哪一位码元为1就表示接收码字中对应位有错。E称为错误图样。,模2,在接收端用H来检测接收B中的错码。,令：,伴随式或校正子：,如果B与A相同，则：,否则：,又,表示校正子S仅与信道的错误图样E有关，而与发送的码字A无关。,五. 如何利用S完成纠错,对（7，4）线性分组码,设B中最高位有错，错误图样,它的转置,恰好是典型H阵的第一列。,同理可求出：,若次高位有错,，即 恰好是H的第二列。,因此，在接收码组中只错一位码元情况下，计算出的校正子S总是和典型监督矩阵 中的

6、某一行相同。,例：,与第三列相同,正确码组为：,六. 汉明码,汉明码是一种可以纠正单个随机错误的线性分组码。它的最小码距 ，监督元位数 ，码长 ，信息元位数 ，编码效率 当r很大时， ，因此是一种高效码。,上例中的（7，4）线性分组码就是汉明码，并且任意调换H矩阵中各列的结果不会影响纠，检错能力。,12.4 循环码,一. 概念,1. 循环码： 线性分组码,（1）封闭性,（2）循环性：循环码中任一许用码组经过循环移位之后，所得到的码组仍为一许用码组。,2. 码多项式,循环码的一许用码组 可表示为：,其中：x为码元位置标记，不考虑其取值。 码元 只取“1”或“0”。,例: (7，3）循环码中第二个码组,如何实现移位：乘一个x相当于码左移一位。,3. 按模运算,若,（ 的次数小于 ）,则：,称为 按模 运算后的余式。,例：,4. 规律,（1）循环码中，将许用码组 左移 一位得到的码字记为： 。其码多项式为：,可以证明：,（2）根据循环码的定义， 均为许用码字。 因此下列结论：若 是许用码字，则 在按模 运算下，也是许用码字。,即：若,则 也是许用码字。,例: (7，3）循环码,则：,那么,其

7、码字为 。,二. 生成多项式与生成矩阵G,1. (n，k) 循环码码组集合中（全“0”除外）最高阶数最小的多项式（n-k）阶称为生成多项式，记为g(x)。,2. 集合中其它码多项式都是 运算下的余式。 即可以由生成多项式g(x)产生循环码的全部码字。,3. 生成矩阵G,循环码的生成矩阵多项式可以写成,以（7，3）循环码为例,经线性变换，将G整理成典型生成矩阵。,整个码组可表示为：,任意一个码多项式都能被g(x)整除。,三. 监督多项式、监督矩阵,1. 对于(n，k) 循环码， 可分解成g(x)和其它因式的乘积。,记为：,称h(x)为监督多项式，其矩阵形式为：,以（7，3）循环码为例,2.,对于（7，3）循环码，g(x)的最高次为4,所以，有两种方案,第一种方案：,码字：,第二种方案：,码字：,例: 已知(7，4）循环码的生成多项式为 （1）求典型生成矩阵和典型监督矩阵； （2）输入信息码为11001011，求编码后的系统码； （3）全部码组； （4）纠、检错能力,解：,四. 编码电路,1. 对于 (n，k) 循环码中，可用多项式表示为：,其中：m(x)为不大于（k-1）次的多项式，代表

8、信息码元。 r(x)为不大于(r-1)次的多项式，代表监督码元。,或：,该式提供了循环码编码的数学依据。,2. 步骤：,（1）信息多项式m(x)左移n-k位。（相当于 ）,（2）求其模g(x)的余式r(x),（3）余式的系数作监督码元，附加在信息码元之后形成循环码。,例: 已知(7，3）循环码的生成多项式为 求信息位为101时的码字。,3. 编码电路,首先，四级移位寄存器清零，三位信息码元到来时，门1断开，门2接通，直接输出信息元。第3次移位脉冲来时将除法电路运算所得的余数存入四级移位寄存器，第47次移位时，门2断开，门1接通，输出监督码元（即余数）。当一个码字输出完毕后就将移位寄存器清零，等待下一组信息码元输入后重新编码。,4. 解码,（1）只检错,设发送码组为A，接收码组为B。,B不出错时，有B(x)=A(x),则： 能整除。,余数不为0时，B有错。,框图：,（2）纠错,用B(x)除以g(x)得到余式 按余式 用查表的方法或通过某种运算得到E(x)。,例：12-6 令 为(7，4)循环码的生成多项式。 (1) 求出该循环码的生成矩阵和监督矩阵； (2) 若两个信息码组分别为(1001)和(0110),求出这两个循环码组； (3) 画出其编码器原理框图。,解：（1）,（2）,（3）,（4）,

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