甘青宁2019届高三3月联考数学（理）试题（解析版）

1、1 甘青宁甘青宁 20192019 届高三届高三 3 3 月联考数学（理）试题月联考数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 2.设集合，则集合 可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先解集合 A,对照选项即可求解 【详解】因为，所以当时， 故选：C 【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力与推理论证能力，是基础题 3.从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如表： 身高（100，110（110，120（120，130（130，140（140，150 频数535302010 由此表估计这 100 名小学生身高的中位数为（ ） （结果保留 4 位有效数字） A. B.

2、C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可. 【详解】由题身高在,的频率依次为 0.05，0.35，0.3,前两组频率和为 0.4，组 距为 10，设中位数为 x,则,解 x=123.3 故选：C 【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是基础题. 4.将函数 f（x）=cos（4x- ）的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x） 的图象，则 g（x）的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先由伸缩变换确定 g(x),再求周期公式计算即可 【详解】由题,T= 故选：B 【点睛】本题考查三角函数伸缩变换，准确记忆变换原则是关键，是基础题. 5.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析图知 2a,2b,则 e 可求. 3 【详解】由题 2b=16.4,2a=20.5,则则离心率 e= . 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记 a,b

3、的几何意义是关键，是基础题. 6.若函数 f（x）=有最大值，则 a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数每段的单调性确定其最值，列 a 的不等式即可求解. 【详解】由题,单调递增，故 单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题. 7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以 16 等于 ，如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（ ） A. 32B. 40C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将三视图还原，即可求组合体体积 【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为 2，高为 4，则体积为 ，利用张衡的结论可得 故选：C 4 【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题 8.设 x，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为 A. -1B. C. -2D. 【答案】C 【解析】 【分析】 画出可行域，求得目

4、标函数最大最小值则比值可求 【详解】由题不等式所表示的平面区域如图阴影所示： 化直线 l;为 y=-x+z,当直线 l 平移到过 A 点时，z 最大，联立得 A(2,5),此时 z=7; 当直线 l 平移到过 B 点时，z 最小，联立得 B(, 此时 z=- ,故最大值与最小值的比值 为-2 故选：C 【点睛】本题考查线性规划，准确作图与计算是关键，是基础题. 5 9.若存在等比数列，使得，则公比 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将原式表示为的关系式，看做关于的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可. 【详解】由题设数列的公比为 q(q0),则,整理得=0,当 时，易知 q=-1，符合题意；但 q0,当0 时，解得 故 q 的最大值为 故选：D 【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，准确转化为的二次方程是关键，是中档题. 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，则异面直线 AC1与 BE 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 取靠近的四等分点 F，连接则BE,连接 AF,A或其补

5、角为所求,在 A中利用余弦定 理即可求解. 【详解】取靠近的四等分点 F，连接则BE,连接 AF,A或其补角为所求，设正方体的 边长为 4，则A 故选：D 【点睛】本题考查异面直线所成的角，作平行线找角是基本思路，准确计算是关键，是基础题. 11.设 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a7=5，S5=-55，则 nSn的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可. 6 【详解】解得设 当 07 时，,故的最小值为 f(7)=- 343. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键， 是中档题. 12.已知 A，B 分别是双曲线 C：的左、右顶点，P 为 C 上一点，且 P 在第一象限记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，当 2k1+k2取得最小值时，PAB 的重心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 A（，0） ，B（ ，0） ，P（x，y） ，得到2，利用基本不等式求解最值，得到 P 的坐标，进

6、而得到 PAB 的重心坐标. 【详解】解：设 A（，0） ，B（ ，0） ，P（x，y） 由题意， 2，2+24，当且仅当 2k1时取等号， 此时1，PA 的方程为 yx+1， ，PB 的方程为 y2 联立方程：，解得 P 重心坐标为 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.的展开式的第 项为_ 【答案】 【解析】 7 【分析】 由二项式定理的通项公式求解即可 【详解】由题展开式的第 2 项为 故答案为 【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题. 14.在平行四边形 ABCD 中，A（1，2） ，B（-2，0） ，则点 D 的坐标为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求再求进而求 D 即可 【详解】由题,故 D(6,1) 故答案为 【点睛】本题考查向量的坐标运算，准确计算是关键，是基础题 15.若函数则_ 【答案】6 【解析】 【分析】 确定,再由对数的运算性质代入求值即可 【详解】由题- 故答案为 6 【点睛】本题

7、考查对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括能力与计算能力，是中档题. 16.过点引曲线 ：的两条切线，这两条切线与 轴分别交于两点，若， 则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于 t 的方程求出 t 值即可求解 【详解】设切点坐标为即,解得 t=0 或 t= 8 两切线的斜率互为相反数，即 2a+6,解得 故答案为 【点睛】本题考查导数的几何意义，转化两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求 法，准确计算是关键，是中档题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 82.082.0 分）分） 17.在ABC 中，3sinA=2sinB， （1）求 cos2C； （2）若 AC-BC=1，求ABC 的周长 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得 a,b 值，再由余弦定理求 c 边 即可求解. 【详解】 （1）， . （2）设的内角的对边分别为. ， ，. 由余弦定理可得， 则，的周长为. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦

8、定理计算 c 边是关键，是基 础题. 18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为 200 元，低于 100 箱按原价销售；不低于 100 箱通 过双方议价，买方能以优惠 8%成交的概率为 0.6，以优惠 6%成交的概率为 0.4 （1）甲、乙两单位都要在该厂购买 150 箱这种零件，两单位各自达成的成交价相互独立，求甲单位优惠比 例不低于乙单位优惠比例的概率； （2）某单位需要这种零件 650 箱，求购买总价 X 的数学期望 【答案】 （1）0.76；（2）120640 元. 9 【解析】 【分析】 （1）先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率，再由对立事件得概率即可求解；（2）先写出在折扣 优惠中每箱零件的价格为 的取值，再列分布列求解即可 【详解】 （1）因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为， 所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率. （2）设在折扣优惠中每箱零件的价格为 元，则或 188. 的分布列为 184188 0.60.4 则. 从而购买总价 的数学期望为元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，对立事件的概率，是基础题. 19.已知是抛物线

9、上一点， 为的焦点 （1）若，是上的两点，证明：，依次成等比数列 （2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分 线在 轴上的截距 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由 在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，的长度，从而证得依次 成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去 ，根据韦达定理求解出 ，从而可得中点坐标和垂直平 分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果. 【详解】 （1）是抛物线上一点 10 根据题意可得：， ，依次成等比数列 （2）由，消 可得 ， 设的中点 ， 线段的垂直平分线的斜率为 故其直线方程为 当时， 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立， 得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率. 20.如图所示，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 为正方形，ADBC，ADAB，AD=2BC=1 （1）证明：平面 ADEF平面 ABF （2）若 AF平面 ABCD，二面角 A-BC-E 为 30，三棱锥 A-BDF 的外接球的球心为 O，求二面角 A-CD-O 的 余弦值 【答案】 （1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】 证明平面即可证明平面平面（2）由题确定二面角的平面角为，进而 11 推出 为线段的中点，以 为坐标原点建立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可 【详解】 （1）证明：因为四边形为正方形， 所以， 又， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知平面，又，则平面，从而， 又，所以二面角的平面角为. 以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，. 因为三棱锥的外接球的球心为 ，所以 为线段的中点， 则 的坐标为，. 设平面的法向量为，则， 即令，得. 易知平面的一个法向量为， 则. 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问确定球心 O 的位置是关键，是中档题. 21.已知函数 f（x）的导函数 f（x）满足（x+xlnx）f（x）

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