江苏省2019届高三下学期3月月考数学试题（解析版）

1、1 江苏省扬州中学江苏省扬州中学 2019 届高三下学期届高三下学期 3 月月考数学试题月月考数学试题 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案填分不需要写出解答过程，请将答案填 写在答题卡相应的位置上写在答题卡相应的位置上 ） 1.已知集合 A，B2，3，4，5，则 AB_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求出集合 ，再求出集合即可得到答案 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合 ，属于简单题 2.若复数 z 满足（i 是虚数单位） ，则 _ 【答案】1-i 【解析】 【分析】 根据题意求出复数 z，然后可求出 【详解】， ， 故答案为： 【点睛】解答本题的关键是求出复数 的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题 3.根据如图所示的伪代码，当输出 y 的值为1 时，则输入的 x 的值为_ 【答案】1 【解析】 2 【分析】 根据图中给出的程序，将问题转化为已知分段函数的函数值求出自变量的取值即可 【详解】由题意得，当时，有，此方程无

2、解； 当时，有，解得 故答案为：1 【点睛】解答本题的关键是读懂程序的功能，然后将问题转化为已知函数值求自变量取值的问题求解，属于 基础题 4.已知一组数据，的方差为 3，若数据，(a，bR)的方差为 12，则 a 的值为_ 【答案】 【解析】 由题意知，解得. 5.在区间(1，3)内任取 1 个数 x，则满足的概率是_ 【答案】 【解析】 【分析】 解对数不等式求出中 的取值范围，再根据长度型的几何概型概率求解即可得到答案 【详解】由得，解得 根据几何概型概率公式可得，所求概率为 故答案为： 【点睛】本题考查长度型的几何概型概率的求法，解题的关键是读懂题意，然后根据线段的长度比得到所求 的概率，属于基础题 6.已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为 ，则该圆锥的表面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 设圆锥底面半径，则母线长，高， 则，求出，该圆锥的表面积为，由此能求出结果 3 【详解】解：圆锥的体积为，母线与底面所成角为 ， 如图，设圆锥底面半径，则母线长，高， ， 解得， 该圆锥的表面积为 【点睛】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能

3、力， 是基础题 7.函数(A0， 0， )的部分图象如图所示，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 先求出的值，然后通过代入最值点的方法求出 的值；或根据图象求出 ，再根据“五点法”求出 的 值 【详解】方法 1：由图象得，所以，故 又点为函数图象上的最高点， 所以，故， 又， 所以 4 故答案为： 方法 2：由图象得，所以 又由图象得点对应正弦函数图象“五点”中的“第二点” ， 所以，解得 故答案为： 【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到 的值求 的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据 的取值范围求解；另一 种方法是“五点法” ，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中 的第几点，然后得到等式求解考查识图、用图的能力 8.已知等差数列的前 n 项和为，若 13，36，则的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据求出的取值范围，然后根据不等式的性质可得所求结果 【详解】在等差数列中， ， 又， 由得 ，即， 即的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查不等式性质的运用，解题的关键是注意灵活变形、合

4、理运用不等式的性质，属于基础题 5 9.如图，在ABC 中，ADDB，F 在线段 CD 上，设，则的最小值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由三点共线以及，可得，利用基本不等式即可求得 的最小值. 【详解】,由图可知均为正数. 又三点共线，则，则. 【点睛】 （1）平面向量中三点共线：若,则三点共线的充要条件是.（2） “1”的代 换是基本不等式中构造的基本方法. 10.已知数列为正项的递增等比数列，记数列的前 n 项和为，则使不等 式成立的最大正整数 n 的值是_ 【答案】6 【解析】 【分析】 设等比数列an的公比 q，由于是正项的递增等比数列，可得 q1由 a1+a5=82，a2a4=81=a1a5，a1，a5，是 一元二次方程 x282x+81=0 的两个实数根，解得 a1，a5，利用通项公式可得 q，an利用等比数列的求和公 式可得数列的前 n 项和为 Tn代入不等式 2019| Tn1|1，化简即可得出 【详解】数列为正项的递增等比数列，a2a4=81=a1a5， 即解得，则公比， 则 ， 6 ，即，得，此时正整数 的最大值为 6. 故答案为 6. 【点睛】本题考查了等

5、比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 11.已知双曲线(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 MN 过 F2，且与双曲线右支交于 M、N 两点，若 cosF1MNcosF1F2M，则双曲线的离心率等于_ 【答案】2 【解析】 【分析】 由可得，故得，所以，再根 据双曲线的定义得到，然后在和中运用余弦定理并结合 可得的关系，进而可得离心率 【详解】如图，由可得， ， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理得 在中由余弦定理得 ， ， ， 整理得， ，解得或（舍去） 双曲线的离心率等于 2 故答案为：2 7 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量（）来表示，然 后根据余弦定理建立起间的关系式，再根据离心率的定义求解即可，属于中档题 12.已知，函数在区间上的最大值是 2，则_ 【答案】3 或 【解析】 当时，= 函数，对称轴为，观察函数 的 图像可知函数的最大值是. 令，经检验，a=3 满足题意. 令，经检验 a=5 或 a=1 都不满足题意. 令，经检验不满足题意. 当时，,

6、函数，对称轴为，观察函数 的图像得函数的最大值 是. 当时，, 函数，对称轴为，观察函数 的图像可知函数的最大值 是. 令， 令,所以. 综上所述，故填 3 或 . 8 点睛：本题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 本题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数，要求 它的最大值，所以要先画出二次函数的图像，再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况. 13.在边长为 8 的正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 AD 边上的一点，且 DN3NA，若对于常数 m， 在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P，使，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 建立平面直角坐标系，按照点 P 在线段上进行逐段分析的取值范围及对应的解，然后取 各个范围的交集即可得答案 【详解】以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则 （1）当点 P 在 AB 上时，设， ， ， ， 当时有一解，当时有两解 （2）当点 P 在 AD 上时，设 ， ， ， 当或时有一解，当时有两解 9 （3）若 P 在 DC 上，设， ， ， ，

7、 当时有一解，当时有两解 （4）当点 P 在 BC 上时，设 ， ， ， 当或时有一解，当时有两解 综上，在正方形的四条边上有且只有 6 个不同的点 P，使得成立，那么 m 的取值范围是 故答案为： 【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利 用数形结合的思想进行求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解难度较大 14.已知函数有两个不同的极值点，若不等式 恒成立，则实数 的 取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然 后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围 【详解】， 函数有两个不同的极值点， 10 ，是方程的两个实数根，且， ，且， 解得 由题意得 令， 则， 在上单调递增， 又不等式 恒成立， ， 实数 的取值范围是 故答案为 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，体现了导数的工具性，解题的关键是得到的表达 式解答恒成立问题的常用方法是转化为求函数的最值的问题解决，当函数的最值不存在时可利用函数值域 的端点值来代替，属于基础题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6

8、小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤明，证明过程或演算步骤 ） 15.已知函数. （1）求函数 图象的对称中心； （2）在中，若为锐角三角形且 ，求 的取值范围. 【答案】(1) ,(2)（ ，2）. 【解析】 试题分析试题分析：（1）先由两角和差公式化一 , 11 (2) 由得到角 A，最终得到要求结果. (1) 解得 ，故对称中心为（，1） （2）由 解得所以 ， 又为锐角三角形，故 所以 的取值范围是 （ ，2）. 16.如图，三角形 PCD 所在的平面与等腰梯形 ABCD 所在的平面垂直， ABAD CD，ABCD，CPCD，M 为 PD 的中点 （1）求证：AM平面 PBC； （2）求证：BD平面 PBC 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）取的中点 ，连，可证得四边形为平行四边形，于是，然后根据线面平行的 判定定理可得结论成立 （2）在等腰中梯形中，取的中点 ，连，证得四边形为菱形， 进而得同理四边形为菱形，可得再由平面平面得到平面， 于是得，最

9、后根据线面垂直的判定可得平面 【详解】证明：（1）如图，取的中点 ，连， 为的中点， 为的中点， ， 12 又， ， 四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面 （2）如图，在等腰中梯形中，取的中点 ，连， ， ， 四边形为平行四边形 又， 四边形为菱形， 同理，四边形为菱形， ， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， 平面 【点睛】本题考查线面关系的证明，解题的关键是根据所证的结论并结合三种平行（垂直）间的关系进行合 理转化，以得到证题所需的条件，考查转化能力的运用和对基本判定方法、性质的掌握程度，属于基础题 13 17.如图，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路 ll，l2，且 ll和 l2交于点 O为了方便游客游览， 计划修建一条连接公路与景观湖的直线型公路 AB景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为 O，半径为 2 百 米的圆，且公路 AB 与圆 O相切，圆心 O到 ll，l2的距离均为 5 百米，设OAB ，AB 长为 L 百米 （1）求 L 关于 的函数解析式； （2）当 为何值时，公路 AB 的长度最短？ 【答案】 （1），.（2）当时，公路的长度最短 【解析】 【分析】 （1）建立平面直角坐标系，得到直线方程为，然后根据直线与圆相 切，得，再根据题意得到，于是 ，即为所求 （2）利用换元法求解，令，则，且 ，于是，然后结合导数求解可得所求最值 【详解】 （1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 在直

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