河南省2019届高三第十四次考试数学（文）试题（解析版）

1、1 南阳一中南阳一中 20192019 年春期高三第年春期高三第 1414 次考试数学试题（文科）次考试数学试题（文科） 一选择题：（本大题共一选择题：（本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.定义集合运算：AB=，xA，yB ，设集合 A=，0，1 ，B= ，则集合 AB 的所有元素之和为（ ） A. 1B. 0C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由 xA，yB 得到，x 有 3 种可能性，y 有 2 种可能性，故 xy 共有 6 种可能性，然后再将重复的排除掉一 次，便可得到 AB 中的元素，进而相加可得答案。 【详解】解因为，所以 的可能取值为-1,0,1 同理， 的可能取值为 所以的所有可能取值为（重复的只列举一次）： 所以所有元素之和为 0，故选 B 【点睛】 “新定义”问题的关键是要读懂新定义，本题以集合为载体，定义了一个新的集合运算，但其本质 还是考查集合中元素之间的关系及其元素的性质。 2.设，则（ ） A. B. 1C. 2D. 【答案】A 【解析】 试题分析：由题设得，所以.故正确答案为 A. 考点：复

2、数运算、模. 3.若，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：由则，所以，又由三角函数的 基本关系式，且，解得，所以，故选 A. 2 考点：三角函数的基本关系式及余弦的倍角公式. 4.在等差数列中，若，则=（ ） A. 13B. 14C. 15D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】 因为数列是是等差数列，所以可将用首项和公差表示为，即， 然后用首项和公差表示，即，进而整体代入便可得结果。 【详解】解：因为数列是是等差数列，设首项为，公差为 所以可转化为，即 所以 故选 A 【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量来进行求解，也可以利用等差数列的性 质来进行解题，解题时应灵活运用。 5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图 如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（ ） A. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】B 【解析】 由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱， 其表面积为： ， 又该几何体的表面积为

3、 16+20， 3 ，解得 r=2， 本题选择 B 选项. 点睛：点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和 俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界 线，在三视图中，要注意实、虚线的画法 6.我国古代数学名著九章算数中的更相减损法的思路与右图相似.记为 除以 所得余数， 执行程序框图，若输入分别为 243,45，则输出的 的值为（） A. 0B. 1C. 9D. 18 【答案】C 【解析】 模拟执行程序框图，可得 a=243，b=45 y=18， 不满足条件 y=0，a=45，b=18，y=9 不满足条件 y=0，a=18，b=9，y=0 满足条件 y=0，退出循环，输出 b 的值为 9 故选：C 点睛：先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、 4 循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足， 则的最大值是（ ） A. 1B. 2C. D. 【答案】C 【解析】

4、 【分析】 是平面内两个互相垂直的单位向量，故以所在直线建立直角坐标系，设， ，由得出关于的方程为，然后三角换元，令 （ 为参数） ，代入目标，转化为三角函数问题即可解得。 【详解】解：以所在直线建立平面直角坐标系， 设， ， 因为 所以， 即，故， 令（ 为参数） ， 所以， 因为， 所以，故选 C。 【点睛】本题考查了向量数量积的问题，向量问题常见的解法是基底法与坐标法。本题中有两个垂直的向量， 这给建系提供了必要的前提，在建系的基础上，将几何图形问题转化为代数（函数）问题求解最值，体现了 数形结合的思想方法。 8.若等差数列与等比数列的首项是相等的正数,且它们的第项也相等,则有( ) A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 因为等比数列中，所以，又， 当时，显然有； 当时， 显然有， 即，综上可知，故选 C. 9.如图所示，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( ) A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. ABC内部 【答案】A 【解析】 如图，C1在面 ABC 上的射影 H 必在两个相互垂直平面的交

5、线上，所以证明面 ABC面 ABC1就可以了 解： ?CA面 ABC1 ?面 ABC面 ABC1， 过 C1作垂直于平面 ABC 的线在面 ABC1内，也在面 ABC 内 点 H 在两面的交线上，即 HAB 故选 A 10.设 ， 满足约束条件，若目标函数（）的最大值为 ，则的 图象向右平移 后的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 6 【解析】 试题分析：可行域为三角形 ABC 及其内部，其中，因此目标函数（）过 时取最大值，即，从而，向右平移 后的表达式为 ，选 C. 考点：线性规划求最值，三角函数图像变换 【名师点睛】 1.对 yAsin(x)进行图象变换时应注意以下两点： (1)平移变换时，x 变为 xa(a0)，变换后的函数解析式为 yAsin(xa)； (2)伸缩变换时，x 变为(横坐标变为原来的 k 倍)，变换后的函数解析式为 yAsin(x) 2.两种变换的差异 先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量 是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对 x 而言的 11.已知 ，满足，则的取值范围为

6、（ ） A. 4，12B. 4, ）C. 0，6D. 4，6 【答案】A 【解析】 【分析】 可转化为，然后进行三角换元为（ 为参数） ，将目标 函数转化为三角函数问题求解范围。 【详解】解：可转化为 ， 故可设（ 为参数） ，解得 所以， 因为， 所以，故选 A。 7 【点睛】本题是一个多元最值的问题，如何“减元”是解决问题的关键。本题采用的方法是三角换元，将 转化为 角的三角函数，由多元转化为单元，然后再借助三角函数求解其最值。 12.已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数 的取 值范围是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本道题计算导函数，结合存在两个不同的极值点，计算 a 的范围，构造新函数，计算最值，得到 的范围， 即可。 【详解】计算导数得到，结合构造新函数得到 要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且 ，则，解得，而 ，构 造新函数，计算导数得到，结合前面提到的 a 的范围可知在单调递增， 故，因而，表示为区间则是，故选 A。 【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难。 二、填空

7、题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.从数字 、 、 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 从数字 、 、 中任取两个不同的数字构成一个两位数，可用列举法列出所有可能，然后利用古典概型的公 式求解。 【详解】解：从数字 、 、 中任取两个不同的数字， 构成两位数所有的可能为 12,13,21,23,31,32， 其中满足大于 30 的有 31,32， 故这个两位数大于的概率为。 8 【点睛】本题考查是古典概型，当所有事件数比较少时，可采用列举的方法解题，解题的难点在于，在列举 过程中要做到 “不重不漏” 。 14.已知，如果是钝角，则x的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 是钝角，即为的夹角为钝角，所以有且与不共线，得出关于 的关系式，从而 解得。 【详解】解：因为是钝角， 所以的夹角为钝角， 所以且与不共线， 即，解得 即。 【点睛】本题考查的是向量夹角与数量积的问题，当向量的夹角为钝角时，则并且 与 的夹角不 等于 180，即且 与 不共线

8、，解题时不能忽略“ 与 不共线”这一条件。 15.已知非零向量 , 满足| |=| |=| - |则向量 与 + 的夹角为_ 【答案】 【解析】 【分析】 对| |=| |=| - |平方得， 化简可得，进而得到 ，将数据代入到 内，化简便可得到余弦值，从而得到夹角的大小。 【详解】解：对| |=| |=| - |进行平方， 可得， 化简整理得， 故， 9 所以 又因为 所以。 【点睛】本题考查了向量模的问题，常见解法是对向量的模进行平方，平方后就可以将模的问题转化为向量 数量积的问题，从而根据向量数量积求解向量的夹角。 16.已知离心率为 的椭圆的左、右焦点分别为、，点 在椭圆 上，点为 的内心，且、的面积分别为、，若 ，则的值为_ 【答案】5 【解析】 【分析】 先根据离心率求得 a、c 的关系，再根据已知条件用 a、c 表示出，求得结果. 【详解】据题意，因为离心率 ， 设 点为的内心，设半径为 r， 得 化简得， 设 10 故答案为：5. 【点睛】本题目考查了椭圆的离心率、定义以及性质，结合三角形类型的知识的综合问题，属于较难题. 三角形的内心：角平分线的交点； 三角形的外心：

9、垂直平分线的交点； 三角形的重心：中线的交点. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤。分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤。 ） 17.已知函数的部分图象如图所示， 是图象的最高点， 为 图象与 轴的交点， 为坐标原点，若 （1）求函数的解析式， （2）将函数的图象向右平移 2 个单位后得到函数的图象，当时，求函数 的值域. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）设 点的横、纵坐标为，根据，在中，建立关于方程组 解出，从而解出函数的解析式； （2）由（1）可得函数，向右平移 2 个单位后得到函数，则 ，通过三角变换后，可得，再由定义域可解出函数 的值域。 【详解】解：（1）设 点的横、纵坐标为， 在中， 所以有，解得， 所以得到 11 故，解得 将点代入函数 得， 因为， 所以得到， 故； （2）函数向右平移 2 个单位后, 得到函数， 【点睛】本题求解三角函数的解析式，就是要确定参数三者的值，A 的值由函数的最值来确定， 可根据周期来确定， 则是代入一个已知点来解决；求三角函数值域时，首先要将原函数利用三角变换转 化为标准形式，即，然后再根据函数的定义域与三角函数的图像来进行求解。 18.如图，在四棱锥中, 为上一点，面面，四边形为矩形， , （1）已知,且面，求 的值; （2）求证：面,并求点 到面的距离 12 【答案】 （1） （2） 【解析】 试题分析：（1） 连接交于点，连接，由直线与平面平行的性质定理可得，由平行线分 线段成比例的性质可得，故 （2）根据勾股定理可知，由平面与平面垂直的性质可得面，即，而已知， 根据直线与平面垂直判定定理可得面，由可求出点 到面的距离 （1） 连接交于点，连接 3 分 , 5 分 （2）6 分 又面面，且面面,面 又,且,面9 分 设点 到面的距离为 ，由, 得，求得12 分 考点： 1直线与平面平行和垂直的判定及性质；2平行线分线段成比例的性质；3平面与平面垂直的性

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