量子力学教程ch3-3课件

1、1,第 三 章 量子力学中的力学量,The Dynamical variable in Quantum Mechanism,2,引言,经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。 这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我们学习中的重点。,3,3.1 表示力学量的算符 operator for dynamical variable 3.2 动量算符与角动量算符 momentum operator and angular momentum operator 3.3 电子在库仑场中的运动 The motion of electrons in Coulomb field 3.4 氢原子 Hydrogen atom 3.5 厄米算符本征函数的正交性 Orthonormality fo

2、r eigenfunction of Hermitean operators 3.6 力学量算符与力学量的关系 Relationship between Operator and dynamical variable 3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principle 3.8 力学量随时间的变化 守恒律 The dynamical variable with respect to time The conservation laws,讲授内容,4,学习内容,1坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系； 2角动量算符的表示形式及相关的对易关系； 3动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和 函数归一 化； 4角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值； 5正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的 基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简 并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率 分布；电离能和里德伯常数； 6量子力学的力学量与厄米算符的关

3、系；厄米算符的本征函 数组成正交完备集； 7在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、 平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件； 8不确定关系及其应用； 9守恒量的判断方法。,5,重点掌握内容,一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设： 力学量用厄米算符表示； 状态用厄米算符本征态表示，力学量 算符的本征值为力学量的可测值 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； 四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量 算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算 符）及它们的本征值。 一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标 算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系） 三个定理: 共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 力学量守恒定理,6,由前面的讨论，我们看到，当微观粒子处在某一状态时，一般而言，其力学量（如坐标、动量和能量等）不一定具有确定的值，而以一定几率分布取一系列可能值（当然，可能在某些特殊的状态，有些力学可取确定值）。,若知道粒子在动量表象中的波函数 ，同理可求出粒子动量 或 的平均值。,3.1 表示力学量的算符,1.坐标与动量的平均值及坐标

4、算符与动量算符的引入,若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 ，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标 或 的平均值,7,（1）坐标平均值,设粒子的状态波函数为 或,粒子的位置处在： 间的几率为,3.1 表示力学量的算符（续1）,坐标平均值,8,利用 计算出坐标 的平均值,称为坐标算符,Prove：,3.1 表示力学量的算符（续2）,9,3.1 表示力学量的算符（续3）,10,（2）动量平均值,利用坐标为变量的波函数 计算动量平均值,3.1 表示力学量的算符（续4）,动量平均值,11,Prove:, 动量算符,3.1 表示力学量的算符（续5）,12,3.1 表示力学量的算符（续6）,13,结论,由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动量均要用相应的算符代入积分式。,利用坐标为变量的波函数 计算坐标平均值时，坐标算符 ，就是坐标本身；利用动量为变量的波函数 计算坐标平均值时，坐标算符为,利用坐标为变量的波函数 计算动量平均值时，动量算符 ； 利用动量为变量的波函数 计算动量平均值时，动量算符就是动量本身,3.1 表示力学量的算符（续7）,14,对一函数作用得到另一函数的运算符号

5、,Ex.,2表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系,（1）算符的定义,称为算符,(2）算符的本征方程,算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以,3.1 表示力学量的算符（续8）,即,此称为算符 的本征方程,15,称为其本征值， 为其本征函数。,(3）力学量算符,表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义运算的符号。,哈密顿算符,动量算符,坐标算符,例如当波函数为 时,3.1 表示力学量的算符（续9）,16,角动量算符,将第二章中构造Harmilton算符的方法加以推广，便提出一个构造一般力学量算符的基本假设。,若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符 而得出。,3.1 表示力学量的算符（续10）,力学量算符规则即构造力学量算符的规则：,17,（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 中的坐标变量 换成坐标算符,（2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。,3.1 表示力学量的算符（续11）,注,18,其中,3.1 表示力学量

6、的算符（续12）,19,(4）力学量算符与力学量测量值的关系,在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题时已看到，当体系处在 的本征态时，体系有确定的能量，该能量值就是 在此本征态中的本征值。当体系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而 有一系列可能值，这些可能值均为 的本征值。这表明 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推广到一般力学量算符提出一个基本假设.,如果算符 表示力学量 ，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。,该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系,3.1 表示力学量的算符（续13）,20,（5）厄米算符及其性质, 厄米算符的定义,若对于任意两函数 和 ，算符 满足等式,则称 为厄米算符, 厄米算符的性质：,厄米算符的本征值必为实数,设 为厄米算符，其本征方程,Prove :,（实数）,3.1 表示力学量的算符（续14）,21,力学量算符为线性的厄米算符,(6）力学量算符的性质,Ex. 1、 证明动量算符的一个分量 是厄密算符,Prove :,设 为宇称算符 的本征值，则宇称算符的本征方程为：,Ex. 2、证明宇称算符 的本

7、征值为,Prove :,3.1 表示力学量的算符（续15）,22,3.1 表示力学量的算符（续16）,23,3.2 动量算符与角动量算符,1 动量算符,本征方程：,按分离变量法,令,归一化常数,则有,24,本征值 取连续值。,归一化系数的确定,1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归一化方法确定归一化常数 ，即,3.2 动量算符与角动量算符（续1）,25,2）若粒子处在边长为 的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数 。,当粒子被限制在边长为 的立方体内时，本征函数 满足周期性边界条件,3.2 动量算符与角动量算符（续2）,26,本征值,3.2 动量算符与角动量算符（续3）,27,由归一化条件,这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。,归一化本征函数,自由粒子波函数,3.2 动量算符与角动量算符（续4）,28,（2）由 可以看出，相邻两本征值的间隔 与 成反比。当 足够大时，本征值间隔可任意小；当 时 ，即离散谱连续谱,讨论,（1）从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为 函数。,（3）在自由粒子波函数 所描写

8、的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,3.2 动量算符与角动量算符（续5）,29,2 角动量算符,（1）轨道角动量算符的定义,3.2 动量算符与角动量算符（续6）,30,利用直角坐标与球坐标之间的变换关系,求得偏导数,3.2 动量算符与角动量算符（续7）,31,由上面结果得,则角动量算符 在球坐标中的表达式为：,3.2 动量算符与角动量算符（续8）,32,本征方程,由于 为 的单值函数，应有周期条件:,即,（2）Lz 的本征值问题,3.2 动量算符与角动量算符（续9）,定义角动量平方算符,本征值:,33,可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零或 的整数倍）。由于z方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。,称为磁量子数,本征函数,由归一化条件,归一化本征函数,3.2 动量算符与角动量算符（续10）,34,正交性：,将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：,本征方程:,在球坐标系中,（3）L2 的本征值问题,3.2 动量算符与角动量算符（续11）,35,此为球面方程（球谐函数方程）。其中 是 属于本征值 的本征函数。利用

9、分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在 区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述），可得,（2）,（3）,由（1）、（2）式得出 的本征值,3.2 动量算符与角动量算符（续12）,36,的本征值:,可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值,球谐函数 是 属于本征值 的本征函数 ， 是缔合勒让德多项式，满足正交 -模方条件：,是 属于本征值 的本征函数，有正交-模方条件,3.2 动量算符与角动量算符（续13）,37,由 的正交归一化条件,求得归一化因子:,讨论,（1）球谐函数系 是 与 有共同的本征函数系,（2）简并情况,在求解 本征方程的过程中，出现角量子数 和磁量子数 。,3.2 动量算符与角动量算符（续14）,38,Ex:,简并度为1,简并度为3,即 属于本征值 的线性独立本征函数 共有 个。因此, 的本征值 是 度简并的。,的本征值 仅由角量子数 确定，而本征函数 却由 和 确定。对于一个 值， 可取 ，这样就有 个 值相同而 值不同的本征函数与同一个本征值 对应。,3.2 动量算符与角动量算符（续15）,39,简并度为5,3.2 动量算符与角动量算符（续16）,40,3.2 动量算符与角动量算符（续17）,41,Hamiltonian operator,的本征值方程（定态Schrdinger方程）,中心力场中运动粒子的势能,3.3 电子在库仑场中的运动,1.有心力场下的 Schrodinger 方程,（1）,42,式（2）代入方程（1），分离变量得,（5）,球面方程（4）与中心力场的势函数无关，即不管中心力场 的形式如何，当 ，且 时，该方程在 内的单值有限解均为球谐函数,3.3 电子在库仑场中的运动（续1）,43,方程（3）是有关径向波函数 的微分方程，称为径向方程，由它求出 ，便可知道 ，但要求径向方程的解，必须先要知道

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