固体物理习题3课件
73页1、第三章 晶格振动,解:,(1),个原子的运动方程可写成,(1)在单原子晶格中,若只计相邻原子的互作用,第n,依题设,原子的振动位移可表示为,(2),将(2)式代入(1)式,得,因为,因此,故得格波的色散关系为,(2),原子链上总能量可写为,其中求和遍及链上的所有原子。,又因为一维单原子链的色散关系为,或者,所以,得平均总能量,3.2 证明:在由两种不同质量M、m(Mm)的原子所组成的一维 复式格子中,如果波矢q取边界值 (a为相邻原子间 距),则在声学支上,质量为m的轻原子全部保持不动;在光学 支上,质量为M的重原子保持不动。,证明:如图所示,设质量为m的轻原子位于2n-1,2n+2,2n+3,. 各点;设质量为M的轻原子位于2n-2,2n,2n+2,各点。,令 表示原子间的恢复力系数,运动方程写为,将试探解代入运动方程有,经整理变成,(1),要A、B有不全为零的解,方程(1)的系数行列式必须等于零, 从中解得,(2),光学支:,声学支:,因为,由上式得到,由此可见,当波矢q取边界值时,声学支中轻原子保持不动 (A=0),光学支中重原子也保持不动(B=0)。,3.3 一维复式格子,原子
2、质量都为m,晶格常数为a,任一个原子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为 和 ,试列出原子的运动方程并求出色散关系。,解:,此题为一维双原子链。,设第,个原子的,位移分别为,。,第,与第,个原子属,于同一原子,第,与第,个原子属于同一原子,,于是,第,和第,原子受的力分别为,其运动方程分别为,设格波的解分别为,代入运动方程,得,整理得,由于A和B不可能同时为零,因此其系数行列式必定为零,即,解上式可得,由上式可知,存在两种独立的格波。,声学格波的色散关系为,光学格波的色散关系为,解:,(1)只考虑最近邻原子的相互作用,得,将 的值代回方程得到色散关系,(2),(a)当上式取+号时为光学波,当 时:,当 时:,(b)当取-号时为声学波,当 时:,当 时:,3.5 证明由N个质量为m的相同原子组成的一维单原子晶格,每单位频率间隔内的振动模式数为,证明:,一维单原子链只有一支格波,据模式密度的一般表示式,(1),因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度,,且只有一支,格波。,所以由(1)式得,得,解:设有一坐标为x与x+dx间的介质元, t 时刻x点处的位移为 u
3、=u(x,t), x+dx点处的位移为u+du。于是,应变为,以E表示弹性模量,按定义,,式中f是引起形变的力。作用在介质元dx上的净力为,这就是连续介质的波动方程,其解为,将u(x,t)代入(1)式,得到,即,因此,一维介质弹性波传播的相速度为,3.7 证明一维单原子链的运动方程,在长波近似下,可以化成 弹性波方程,解:,如果只计及近邻原子间的相互作用,第n个原子的运动方程,为,因为,所以第n个原子的运动方程化为,在长波近似下,,运动方程又化为,(1),在长波近似下,当l为有限整数时,,上式说明,,在长波近似下,邻近(在半波长范围内)的若干原子,以相同的振幅、相同的位相做集体运动。,因此(1)式可统一写成,第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动,正是由这些,原子的整体的运动所构成。,这些原子偏离平衡位置的位移,,即是宏观上的质点位移,。,从宏观上看,原子的位置,可视为准连续的,原子的分离,可视为连续坐标x,即,于是,(2)式化为,其中,是用微观参数表示的弹性波的波速。,第(l1,m)原子对它的作用力,并把试探解,同时代入,消去公因子后得,所以,格波的传播速度,可见,在长波极限下,格
《固体物理习题3课件》由会员F****n分享,可在线阅读,更多相关《固体物理习题3课件》请在金锄头文库上搜索。
2024-04-18 25页
2024-04-18 29页
2024-04-18 38页
2024-04-18 16页
2024-04-09 21页
2024-04-09 26页
2024-04-09 28页
2024-04-09 19页
2024-04-09 26页
2024-04-09 23页