2018-2019学年高二第二学期3月考数学试题（含精品解析）

1、2018-2019学年度北京师范大学附属实验中学高二下学期3月考试题第I卷 （选择题共32分）一选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。1.下列求导数运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数的运算，对四个选项中的函数分别求导，由此得出正确选项.【详解】解：A、（x）1，故错误；B、（3x）3xln3，故错误；C、符合对数函数的求导公式，故正确；D、（x2cosx）2xcosxx2sinx，故错误故选：C【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查导数的运算，属于基础题.2.函数yx2在区间x0, x0+x上的平均变化率为k1，在x0x，x0上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（ ）A. k1k2B. k1k2C. k1k2D. k1与k2的大小关系不确定【答案】D【解析】由题意结合函数的解析式有：，则，因为x可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定.本题选择D选项.3.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜

2、率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为A. 13万件B. 11万件C. 9万件D. 7万件【答案】C【解析】解：令导数y=-x2+810，解得0x9；令导数y=-x2+810，解得x9，所以函数y=-x3+81x-234在区间（0，9）上是增函数，在区间（9，+）上是减函数，所以在x=9处取极大值，也是最大值，故选C5.函数上的极小值点为（）A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求导后令导数等于零，求得导函数的零点，然后根据单调性求得极小值点.【详解】解：y12sinx0，得x或x，故yx+2cosx在区间0，上是增函数，在区间

3、，上是减函数，在，是增函数x是函数的极小值点，故选：C【点睛】本小题主要考查函数的导数运算，考查求函数的极小值点，属于基础题.6.设函数在 上可导，其导函数为 ，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A. 函数 有极大值和极小值B. 函数有极大值 和极小值C. 函数 有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】【分析】根据的图像，按分类，研究函数的单调区间，由此求得函数的极大值和极小值.【详解】解：由函数的图象可知，f（2）0，f（2）0，并且当x2时，f（x）0，当2x1，f（x）0，函数f（x）有极大值f（2）又当1x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，故函数f（x）有极小值f（2）故选：D【点睛】本小题主要考查利用函数的图像判断导函数的正负，并由此求得极值，属于基础题.7.若函数y在（1，+）上单调递增，则a的取值范围是（）A. aB. a-2C. aD. a-1【答案】A【解析】【分析】先求得函数的导数，根据函数的单调性令导数恒大于等于零，分离常数后求得的取值范围.【详解】依题意，函数在上有，即恒成立，由于，故，所以.故选A.【点睛】本小题主要考

4、查函数的导数，考查已知函数的单调性求参数，考查分离常数法，属于基础题.8.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：；函数在区间上是增函数。其中正确的判断是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，由图可知时，为增函数知，所以有。又由，所以有，因为，所以，因为所以有,所以,开口向上，对称轴为，所以函数在区间上是是增函数。考点：导数在求函数极值及单调性中的应用第II卷 （非选择题共68分）二填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。9.如果函数f（x）cosx，那么_【答案】【解析】【分析】先求得函数的导数，然后令，分别代入原函数和导函数，由此求得表达式的值.【详解】解：由题意知，f（x）cosx，cos，f（x）sinx，sin，故答案为：【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查特殊角的三角函数，属于基础题.10.已知f（x）x33x，过点P（2，2）作函数yf（x）图象的切线，则切线方程为_【答案】y9x-16或y2【解析】【分析】当为切点时，利用导数求得斜率，由此求得切线方程.当不是切点时，设出切点坐标，求得斜率，根据点斜式写出切线方程，将点代

5、入切线方程，求得的值，由此求得切线方程.【详解】解：y-3+3x2当点P为切点时，y|x29，得到切线的斜率为9，所求的切线方程为y9x16，当P点不是切点时，设切点为（m，m33m）则切线的斜率为3m23，切线方程为ym3+3m（3m23）（xm）而切线过（2， 2），2m3+3m（3m23）（2m）解得m-1或2（舍去）切点为（-1， 2），斜率为0，所求的切线方程为y2故答案为：y9x-16或y2【点睛】本小题主要考查过某点的切线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题.11.已知yf（x）是定义在R上的函数，且f（1）1，f（x）1，则f（x）x的解集是_【答案】（1，+）【解析】【分析】构造函数，利用导数和已知条件判断出为单调递增函数，并由此求得不等式的解集.【详解】解：设g（x）f（x）x，则g（x）f（x）1，f（1）1，f（x）1，g（x）f（x）10，即g（x）单调递增，且g（1）f（1）10，当x1时，g（x）g（1），即f（x）x0，则f（x）x，即f（x）x的解集是（1，+），故答案为：（1，+）【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数解不等式，属于基础题

6、.12.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图）.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.【答案】【解析】试题分析：如图，设底面六边形的边长为x，高为d，则d=（1-x）； 又底面六边形的面积为：S=6X2sin60=x2；所以，这个正六棱柱容器的容积为：V=Sd=x2（1-x）=(x2-x3)，则对V求导，则V=（2x-3x2），令V=0，得x=0或x=，当0x时，V0，V是增函数；当x时，V0，V是减函数；x=时，V有最大值故答案为。考点：本题主要考查导数的应用，几何体的体积公式。点评：典型题。理解题意，构建函数模型是关键，记牢公式，求导计算。13.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ， 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高

7、点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等14.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是_【答案】.【解析】，令函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根，当时，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去，当时，令，解得，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当近于与近于时，要使在区间有两个实数根，则，解得实数的取值范围是，故答案为.三解答题：本大题共4小题，共44分。解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.求下列函数的导数： （1）（2）y【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据乘法、除法和复合函数的求导法则，对两个函数进行求导.【详解】（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查乘法、除法和复合函数的求导法则，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知函数f（x）2lnxx（I）写出函数f（x）的定义域，并求其单调区间；（II）已知曲线yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线为l，且l在y轴上的截距是2，求x0【答案】（）定义域为（0，+）, 单调递增区间

8、是（0，2），单调递减区间是（2，+）；（）1.【解析】【分析】（）由对数真数大于零求得函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间.（）利用切点的横坐标求得斜率，由点斜式写出切线方程，令纵截距为列方程，解方程求得的值.【详解】解：（）函数yf（x）的定义域为：（0，+）f（x）2lnxx，令f（x）0，则x2当x在（0，+）上变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表函数yf（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+）（）由题意可知：f（x0）2lnx0x0，曲线yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线的斜率为切线方程为：切线方程为ykx2，2lnx022x01【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关切线方程的问题，属于中档题.17.已知函数f（x）x2exb，其中bR（）证明：对于任意x1，x2（，0，都有f（x1）f（x2）；（）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】【分析】（I）利用导数求得函数的最大值和最小值，利用最大值减去最小值来证得不等式成立.（II）当和时，由解析式判断零点的个数.当时，根据最大值进行分类，得出零点个数.【详解】解：（）f（x）的定义域R，且f（x）x（x+2）ex，令f（x）0则x10，或x22，f（x）x（x+2）ex， x （，2）2 （2，0） f（x）+ 0 f（x） 增函数 极大值 减函数f（x）在区间（，0上的最大值为；f（2）b，x（，0，f（x）x2exbb，f（x）的最小值为：b，对于任意x1，x2（，0，都有f（

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