06 平方根

1、八年级数学暑假专题平方根知识要点分析1、无理数的概念（这是重点）无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的数不一定是无理数,如;无理数也不一定带根号,如圆周率.2、算术平方根（这是重点）如果一个数x的平方等于a即 ，那么这个正数x就叫做a 的算术平方根，记作“”，读作根号“a”；规定0的算术平方根即=0，如，那么2叫做4的算术平方根。3、平方根（这是重、难点）平方根：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）；平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；开方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。【典型例题】考点一：无理数的概念例1. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的AC、BD相交于O，试说明边长AB、BC、CD、AD和对角线AC、BD的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。【思路分析】从图上看AC、BD、AB是有理数，因此BC、CD、AD的长度不是有理数解：AC=7，BD=5是有理数，而AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB2=

2、32+4=25,AB=5是有理数，而BC2=32+32=18,CD2=32+22=13,AD2=42+22=20,因此BC 、CD、 AD 的长度不是有理数。方法与规律:利用网格的特点进行分析，并借助勾股定理及数的平方来判定什么是有理数，什么不是有理数。例2 如图，在ABC中，ACb,CD=5，高AD可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?【思路分析】找出直角三角形,利用勾股定理计算AD的平方是b2-25，由于b的取值不同,结果不一样，不妨试一试解：可能是整数，可能是分数，也可能是无理数.方法与规律：根据有理数的特点，只要这个数是整数或分数则属于有理数，否则，不是有理数。考点二：算术平方根例3. 求下列各数的算术平方根。（1）225 （2） （3） （4）【思路分析】求一个正数的算术平方根，只要先找出一个正数的平方等于这个数，不必考虑负数平方等于这个数；如果一个数为带分数，一般先化成假分数，再求其算术平方根。解：（1）因为152=225，所以225的算术平方根是15，即=15。（2）因为=，所以的算术平方根是，即= 。（3）1=，因为（）2=，所以1的算术平方根是（或1），即=1。

3、（4）因为（）2=（）2，所以的算术平方根是，即=方法与规律:根据算术平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数的算术平方根。考点三：平方根例4：求下列各数的平方根。(1)0.36 (2) (-1.3)(3) (4) 31【思路分析】求一个正数的平方根，先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，互为相反数，不能只考虑正数而把负数遗漏了；如果一个数为带分数则一般先化为假分数；如果这个正数a不能写成有理数的平方形式，则可以将a的平方根表示成。解：（1）因为（0.6）=0.36，所以0.36的平方根是0.6，即=0.6。（2）因为，所以的平方根是1.3，即=1.3。（3），因为（）=，所以的平方根是，即=。（4）31的平方根是。方法与规律:掌握平方根的定义，首先确定哪个数的平方等于这个数，然后求出这个数的平方根，注意书写。考点四：平方根与算术平方根的应用例5：已知一个数的两个平方根分别是2x+1与3-x，求这个数。【思路分析】根据平方根的性质，若一个数有两个平方根，它们互为相反数，所以2x+1与3-x互为相反数，即（2x+1）+(3-x)=0.解：根据题意,得（2x+1）

4、+(3-x)=0,解这个方程,得x=-4当x=-4时, 2x+1=-7,3-x=7,所以这个数是49.友情提示：本题是逆用平方根的性质.例6：借助计算器计算下列各题:(1)=_;(2)(3) (4) 仔细观察上面几道题及其计算的结果,试猜想:=_.【思路分析】仔细观察可得,猜想题是(1)(4)的拓展,用计算器得出(1)(4)的结果后,便可发现规律:被开方数是两个正整数的平方和,这两个数分别是由4和3组成的,且数字4的个数和3的个数相等,因此当被开方数是2009个4组成的数与2009个3组成的数的平方和时,所得结果应为2009个5组成的数。解: (1)5(2)55 (3)555 (4)5555猜想: 方法与规律总结:本题是探索题,也就是找规律,因此要认真分析,找出题目中的共同点,从而发现规律。例7：自由下落物体的高度（h）与下落时间t(秒)的关系为，有一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要多少时间？（精确到1秒）【思路分析】把h=80代入已知的公式中便可得出一个关于t的方程，利用平方根的概念求解即可，注意把不符合题意的解舍去。解：把h=80代入中，得，所以则因为t表示时间只能取正值

5、，所以t=-4舍去，因此t=4.答：这一铁球从80米高的建筑物上自由下落到地面需要4秒。【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲了无理数、平方根及算术平方根。在利用平方根或算术平方根的概念解题时要注意把问题转化成方程的问题求解，也就是利用了方程的数学思想。1.下列说法正确的是（ ）A.一个数总大于它的立方根；B.非负数才有立方根；C.任何数和它的立方根的符号相同；D.任何数都有两个立方根。2.，则x的值是（ ）A.-9 B.27 C.27 D.-273-8的立方根与4的算术平方根的和是（ ）A.0 B.4 C.-4 D.0或44不用计算器，估计的大小应在（ ）A、67之间 B、77.5之间C、7.58之间 D、89之间5通过估算判断：6绝对值小于的整数有_。7与的大小关系是_。8【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、认认真真选(每小题4分,共40分)1. 下列关于数的说法正确的是（ ）A. 有理数都是有限小数B. 无限小数都是无理数C. 无理数都是无限小数D. 有限小数是无理数2. 数351.021021021是（ ）A. 无理数 B. 有理数C. 有限小数 D. 以上都有可能3. 下列

6、各式中正确的是( )A. =5 B. 2=-3 C. =6 D. =104. 当x=-时,的值为( )A. B.- C. D.5. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是B. -a2一定没有平方根C. 0.9的平方根是0.3 D. a2-1一定有平方根6. 已知正方形的边长为a，面积为S，则（ ）A. S= B. S的平方根是a C. a是S的算术平方根 D. a=*7. 下列说法：任何数都有算术平方根；一个数的算术平方根一定是正数；a的算术平方根是a；（-4）的算术平方根是-4；算术平方根不可能是负数。其中，不正确的有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个8. 已知，则x为（ ）A. 5 B. -5 C. 5 D. 以上都不对9. 当时，的值为（）A. 0B. C. D. 10. 16的算术平方根和25的平方根的和是（ ）A. 9 B. -1 C. 9或-1 D. -9或1二、仔仔细细填(每小题4分,共32分)11. 下列各数：3.141 0.33333 0.3030003000003（相邻两个3之间0的个数逐次增加2） 0.0.其中是有理数的有_；是无理数的有_.（

7、填序号）12. 一个正数的平方根有 ，它们的和为 。*13. 0.0036的平方根是 ，1的算术平方根是 ，的算术平方根是 。14. =_. 15. 若+=0，则x= 。16. 若的平方根为3，则a= 。*17. 如果一个正数的平方根是a+3与2a-15,则这个正数是_.18. 已知，则.三、平心静气做(共28分)19. (本题8分)设面积为5的圆的半径为y，请回答下列问题：（1）y是有理数吗？请说明你的理由；（2）估计y的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计.20. (本题10分)求下列各数的平方根和算术平方根：（1）7 （2） （3）*21. (本题10分)用计算器计算，根据你发现的规律，判断P=与Q=(n为大于的自然数)的值的大小关系为（ ）A. PQ B.P=Q C.PQ D.与n的取值有关【试题答案】一、1C 【思路分析】无理数是指无限不循环小数,也就是说无理数都是无限小数.2.B 【思路分析】数351.021021021是一个无限循环小数,即该数是一个有理数.3.C 【思路分析】A选项, 是指求25的算术平方根,故=5;B选项, =3;D选项,负数没有算术平方根.

8、4.A 【思路分析】是指的算术平方根,故本题答案是A.5.A 【思路分析】A.=2,求的平方根,即是求2的平方根,是;B选项,当a=0时, -a2有平方根;C选项,0.9的平方根是;D选项,当a2-1是负数时,没有平方根.6.C 【思路分析】根据算术平方根的概念,可知本题答案是C.7.C【思路分析】, 负数没有算术平方根;,0的算术平方根是0; ,a可能是负数,如果是负数,则不成立; -4是负数,一个非负数的算术平方根是非负数;均不正确.8.C【思路分析】的算术平方根是5,故=25,25的平方根有两个, 5.9.B【思路分析】意为求的算术平方根,其平方根x,其中正的平方根是其算术平方根, x0,所以其算术平方根是-x.10.C【思路分析】16的算术平方根是4,25的平方根是5,故本题答案是C.二、11. , 【思路分析】分数和无限循环小数都是有理数;无限不循环小数是无理数.12.两个,0【思路分析】一个正数的平方根有两个,这两个平方根互为相反数,故和为0.13. 0.06,3 【思路分析】求一个带分数的算术平方根时,先化成假分数. =9,即是求9的算术平方根.14. 【思路分析】根据平方根的概念求解.15.0【思路分析】只有非负数才有算术平方根,故,解得x=0.16. 81【思路分析】.17.49【思路分析】由一个正数的两个平方根互为相反数知a+3+2a-15=0,解得a=4,所以这两个平方根是7,这个正数是49.18.25【思路分析】根据算术平方根的非负性知a-2=0,且b+3=0,解得a=2,b=-3,代入即可求解.三、19.（1）由题意得y2=5,即 y2=5.没一个整数或分数的平方等于5,故y是无理数.(2)2.2 【思路分析】先根据面积公式得到关于y的方程,然后进行判断;问题(2),用计算器进行估计.20.（1）7的平方根为，7的算术平方根为； （2）的平方根为7，的算术平方根为7 ； （3）的平方根为（a+b）. 的算术平方根为【思路分析】一个正数有两个平方根，其中正的平方根是它的算术平方根。21. C【思路分析】用计算器计算可知,可以判断PQ。

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