【100所名校】2019届黑龙江省高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

1、1 2019 届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 高三上学期期中考试数学（理）试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1若集合，集合，则 = |2+ 2 1 = A B C D ( 1,2)( , 1) (1, + )( 1,1)( 1,0) (0,1) 2已知，则的值 2 + = 0 2 A B C D 6 5 3 5 3 5 6 5 3已知向量，向量的夹角是 ，则等于 = (1, 3), 3 = 2| A B1 C D2 1 2 2 4若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 , A B , , , C D , , = , = , 5周碑算经中有这样一个问题：

2、从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷 雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为尺,前九个 31.5 节气日影长之和为尺,则小满日影长为 85.5 A尺 B尺 C尺 D尺 1.52.53.54.5 6函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只 () = ( + ) 0,| 0() = 2( + 3) 3 0) 1,2 = 1 2 （）求椭圆 的方程； （）若是椭圆上不重合的四个点，且满足，求 , 1111 = 0 的最小值 |+| 20如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，且 ，是棱的中点 = = = 2 = 1 （）求证：平面； （）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （）设点 是线段上的动点，与平面所成的角为 ，求的最大值 21已知函数 () = 2+ ( + 1) （）当时，求函数的单调区间； = 4() （）若函数有两个极值点，且，求的取值范围 () 1,21 0) 12 0, 2) 的最大值 | | 23已知函数 ()=|2 3 4| +|2 + 5 4| （1）求函数的最小值 ； () （2）在（

3、1）的条件下，设，且，求证： , R + + = 12 + 1 +2 + 1 2 1 2019 届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 高三上学期期中考试数学（理）试题 数数学学 答答 案案 参考答案参考答案 1D 【解析】 【分析】 求出集合的等价条件，结合交集的定义进行计算即可 【详解】 A=x|x2-x-20=x|-1x2， =| 1 2 1=| 1 0() = 2( + 3) (2018)= 1 2672(2),(2) 【详解】 定义域为 R 的奇函数，当时，则 () 0() = 2( + 3) ( + 3)= 1 2(), 则 又当时， (2018)= 1 2(2015) = 1 22(2012) = . = 1 2672(2), 3 0 设，则 (1,1),(2,2) 1+ 2= 162 3 + 42 ， 12= 162 48 3 + 42 把代入上式可得：， |= 1 + 2|1 2|= 24(1 + 2) 3 + 42 - 1 |= 24(1 + 2) 4 + 32 ， |+|= 168(2+ 1)2 (4 + 32)(3 + 42) 168(2+ 1)2 ( (4 + 32

4、) + (3 + 42) 2 ) 2 = 96 7 当且仅当，即时，上式取等号 4 + 32= 3 + 42 = 1 7 综上可得：的最小值为 |+| 96 7 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系、向量垂直与 数量积的关系、三角形内切圆的性质、二次函数的性质推理能力与计算能力，属于难题 20（1）见解析 ； （2） ；（3）. 6 3 35 7 【解析】 【分析】 （）通过建立空间直角坐标系，利用平面 SCD 的法向量即可证明 AM平面 SCD； = 0 （）分别求出平面 SCD 与平面 SAB 的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出 【详解】 （）以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(1,0,0),(0,0,2),(0,1,1) ， =(0,1,1), =(1,0, 2), =( 1, 2,0) 设平面的一个法向量为 =(,) 则 ，令，得 ， ，即 = 0 = 0 2 = 0 2 = 0 = 1

5、 = (2, 1,1) = 0 平面 平面 （）取平面 SAB 的一个法向量 ，则 = (1,0,0) = | | = 2 1 6 = 6 3 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 6 3 （）设，则，平面的一个法向量为 (,2 2),(1 2) = (,2 3, 1) = (1,0,0) = | =| 52 12 + 10| = 1 10 (1 ) 2 12 1 + 5 = 1 10 (1 3 5) 2+7 5 当，即时，取得最大值，且 1 = 3 5 = 5 3 ()= 35 7 【点睛】 本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题. 21（1）单调减区间，增区间 ； （2）. ( 1,1)(1, + ) (0,2 1 2) 【解析】 【分析】 （）依题意知函数定义域为， ，当时，令，得 ( 1, + )() = 22+ 2 + + 1 = 4 () = 22+ 2 4 + 1 0 1() （II）由（I）可知：当时，函数 f（x）存在两个极值点 x1，x2，满足 0 0 1 故函数的单调减区间，增区间 ()( 1,1)(1, + ) （）若函数有两个极值点、，且， () 121

6、 0 在单调递增且，即存在使得 () ( 1 2,0)(0) 0 ( 1 2) 0 在单调递减，在单调递增， () ( 1 2,0)() (0,0) 又， 在单调递减， (0)= 0,( 1 2) 0 ( 1 2,0), () 0 () ( 1 2,0) 又,， (0) = 0 ( 1 2) = 2 1 2 故所求范围为 (0,2 1 2) 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理 能力与计算能力，属于难题 22（1） ； （2）. ( + 4) = 2 2 = 4 2 + 2 2 【解析】 【分析】 （）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；曲线 C2的参数方程消去参数 ，得到曲线 C2的普通方程，由此能求出曲线 C2的极坐标方程 （）， | = = 1 + ,| = = 4 ，由此利用，求出当时， 有最大值 | | = 4( + ) = 2 + 2 2(2 + 4) 0 2 = 8 | | 2 + 2 2 【详解】 （）曲线 的极坐标方程为 ，即 1 ( + ) = 1 ( + 4) = 2 2 曲线的普通方程为 ，即， 2 ( 2)2+ 2= 42+ 2 4 = 0 所以曲线的极坐标方程为 2 = 4 （）由（）知， | = = 1 + ,| = = 4 | | = 4( + ) = 2(1 + 22 + 2) = 2 + 2 2(2 + 4) 由，知，当 ， 0 2 4 2 + 4 5 4 2 + 4 = 2 即时， 有最大值 = 8 | | 2 + 2 2 【点睛】 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、 参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 23（）；（）详见解析 1,2 【解析】 试题分析：（）利用绝对值的几何意义可知函数， () = |2 3 4| + |2 + 5 4| 从而可得，解相应的不等式即可；（）

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