【100所名校】2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题（解析版）

1、1 2019 届山东省实验中学 高三第二次诊断性考试数学（理）试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1已知集合中的元素个数是 =1，2，3，4， =2，4，6，8，则 A2 B3 C6 D8 2已知向量 =( 1,2), =(,1)，若 ，则 = A B C D2 2 1 2 1 2 3设满足约束条件则的最大值是 , 3 + 2 6 0 0 0 ， = A B0 C2 D3 3 4已知等比数列中， 3= 2,7= 8,则5= A B4 C4 D16 4 5“”是“指数函数单调递减”的 1()=(3 2) 在 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

2、 6已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间 (0,42) (4，8)内的概率是(附：随机变量 服从正态分布，则， (,2) ( 且 ，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是 , 1，2，3，4 A B C D 1 3 5 32 7 32 7 12 11将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向右平移 个单位后 ()= 6 得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数 a 的取值范围为 ()() 0, 9与2,4 A B C D 13 12,2 13 12, 3 2 7 6,2 7 6, 3 2 12已知均为单位向量，满足，设，则 , = 1 2, 0, 0 = + 的最小值为： + A B0 C D1 2 3 3 3 3 2 二、填空题二、填空题 13已知函数_ ()=3, 0 9, 0 ,则( 1)= 14设为正实数，且的最小值为_ , + = 1，则 2 + 1 15函数的最大值为_ ()= 2(1 + ) 16下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字 2019 在表中

3、出现的次数 为_ 三、解答题三、解答题 17已知在递增的等差数列的等比中项 中, 1= 2,3 是 1 和 9 (I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前 n 项和，求 = 1 ( + 1) 18在中，A,B,C 所对的边分别为，满足 , ( + )= 2 3 3 2 2 (I)求角 A 的大小； ()若，D 为 BC 的中点，且的值 = 2 7, =3,求 19某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数 x 与销售价格 y(单位：万元，辆)进行了记 录整理，得到如下数据： (I)画散点图可以看出，z 与 x 有很强的线性相关关系，请求出 z 与 x 的线性回归方程(回归系数精确到 , 0.01)； (II)求 y 关于 x 的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为 10 年时售价约为多少 参考公式： = = 1( )( ) = 1( )2 = = 1 = 1 2 2 , = 参考数据： 6 = 1 = 187.4, 6 = 1 = 47.64, 6 = 1 2 = 139,1.03 0.03,1.02 0.02. 20已知数列的前项和为,1 = 2, + 1= 2 +

4、(I)求数列的通项公式；()设，求数列的前 n 项和 =(3 1) 21依据黄河济南段 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济 南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示 (I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在 8 月份发生 I 级灾害的概率； ()黄河济南段某企业，在 3 月份，若没受 1、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1 级灾害影响，则 亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元 现此企业有如下三种应对方案： 试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由. 22已知(e 为自然对数的底数，e=2.71828)，函数图象关于直线对 ()= = ()与 = () = 称，函数的最小值为 m () () (I)求曲线的切线方程； = ()+ 2在点(1，2) ()求证：； 2 1()=(3 2) 在 故答案为：B 【点睛】 2 (1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平 和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，

5、首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题 和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：若,则 、: = |()成立: = |()成立 是 的充分条件，若，则 是 的充分非必要条件；若,则 是 的必要条件，若，则 是 的 必要非充分条件；若且，即时，则 是 的充要条件. = 6B 【解析】 【分析】 由题意,利用正态分布的对称性，即可得出结论 【详解】 由题意 P（44）=0.6826，P（88）=0.9544，可得 P（48）= （0.95440.6826）= 1 2 0.1359故答案为：B 【点睛】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的 对称性，属于基础题 7D 【解析】由题意，大正方形的边长为 2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为31 ，故选 D. 2 31 1000134 2 8A 【解析】试题分析：因,故当时,函数 单调递增; 当时,函数单调递减; 当时,函数 2 1 x ye x 2 1 x ye x 单调递增.故应选 A. 2 1 x ye x 考点：导数与函数单调性的关系 9B 【解析】

6、【分析】 先化简=，再利用二项式定理的通项分析得解. ( + 1 2 1)6( + 1 2) 1 6 【详解】 由题得=， ( + 1 2 1)6( + 1 2) 1 6 设 + 1 = 6( + 1 2) 6 ( 1) = 6( 1) ( +1 2) 6 , 对于二项式，设其通项为， ( + 1 2) 6 + 1= 6 6 (1 2) = 6 6 3 令 6-r-3k=2,所以 r+3k=4,r,k ,方程的解为 r=1,k=1 或者 r=4,k=0. 所以展开式的系数为. ( + 1 2 1)6 2 1 6( 1) 11 5+ 4 6( 1) 40 2= 15 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和 分析推理计算能力. 10C 【解析】 【分析】 先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】 先求所有的三位数，个位有 4 种排法，十位有 4 种排法，百位有 4 种排法，所以共有个三 4 4 4 = 64 位数. 再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把

7、最小的放在中间，共有种，第二类，凹 3 4 2 = 8 数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数 8+6=14 个， 2 4 1 = 6 由古典概型的概率公式得 P=.故答案为：C 14 64 = 7 32 【点睛】 本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理 能力. 11B 【解析】 【分析】 利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性 求得 a 的范围 【详解】 将函数 f（x）=cosx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），可得 y=cos 的图象； 2 3 然后向右平移 个单位后得到函数 g（x）=cos=cos（ ）的图象， 6 6 2 2 12 若函数 g（x）在区间与2a，4上均单调递增， 0， 9 则 0 = ， 0，且 2k， 2k，kZ 12 12 1 2 9 12 2 2 12 4 2 12 解得 a ，故答案为：B 13 12 3 2 【点睛】 本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题 12C 【解析】 【分析】 由题意可设 C（cos ，sin ），设 A（ ，），B（1，0），由条件求得 x，y，再由两角和的正弦公式、 1 2 3 2 正弦函数的最值，可得最小值 【详解】 由|=1 可设 C（cos ，sin ）， 又= ，所以 cosBOA= ,所以BOA= . 1 2 1 2 3 因为|=|=1，可设 A（ ，），B（1，0）， 1 2 3 2 =x+y，所以 1 2 +

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