文元美现代通信原理课件第7章-差错控制编码

1、2019/4/18,通信原理,第 7 章 差错控制编码,7.1 概述 7.2 常用的几种简单分组码 7.3 线性分组码 7.4 循环码 7.5 卷积码 *7.6 网格编码调制,2019/4/18,通信原理,7.1 概 述,7.1.1 信道编码 在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外，还可以采用信道编码技术。,2019/4/18,通信原理,7.1.2 差错控制方式,图 7-1 差错控制方式,2019/4/18,通信原理,1. 检错重发方式 检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(Automatic Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息再次重

2、发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。,2019/4/18,通信原理,2. 前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword ErrorCorrection)。发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。,2019/4/18,通信原理,3. 混合纠错方式 混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力， 但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此， 近年来得到广泛应用。,2019/4/18,通信原理,另外，按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类：随机信道、突发信道和混合信道。恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错误之间是统计独立的。具

3、有脉冲干扰的信道是典型的突发信道， 错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错误。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制方式。,2019/4/18,通信原理,7.1.3 纠错码的分类 (1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。 (2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不仅与本组的信息元有关，而且还与前面若干组的信息元有关。 (3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能检错。,2019/4/18,通信原理,7.1.4 纠错编码的基本原理,1. 分组码 分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元，组成长为

4、n的码字。在二进制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地可得到2k个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。,2019/4/18,通信原理,码长：编码码组的码元总位数称为码组的长度，简称码长。 在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量， 简称码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明(Hamming)距离，简称码距。例如 11000 与 10011之间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用d表示。最小码距是码的一个重要参数， 它是衡量码检错、纠错能力的依据。,2019/4/18,通信原理,2. 检错和纠错能力,若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的简单重复， 则称该分组码为重复码。它是一种简单实用的检错码， 并有一定的纠错能力。,例如(2,1)重复码，两个许用码组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出现 01、10 禁用码组时，可以发现传输中的一位错误。,2019/4/18,通信原理,如果是(3,1)重复码，两个许用码组是 000 与111, d

5、0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检出两个错误。,2019/4/18,通信原理,码的最小距离d0直接关系着码的检错和纠错能力；任一(n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d02t+1; (3) 纠正t个同时检测e(t)个随机错误，则要求码的最小距离d0t+e+1。,2019/4/18,通信原理,3. 编码效率 用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性: R=k/n 其中, k是信息元的个数，n为码长。 对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 际中要根据具体指标要求， 保证有一定纠、 检错能力和编码效率，并且易于实现。,2019/4/18,通信原理,7.2 常用的几种简单分组码,7.2.1 奇偶监督码,奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元， 使得码组中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元，码重为奇数或偶数的(n

6、, n-1)系统分组码。奇偶监督码又分为奇监督码和偶监督码。,2019/4/18,通信原理,设码字A=an-1,an-2,a1,c0，偶监督码码组中1的个数为偶数个，满足：,2019/4/18,通信原理,设码字A=an-1,an-2,a1,c0，奇监督码码组中“1”的数目为奇数， 即满足条件有,而检错能力与偶监督码相同。 奇偶监督码的编码效率R为,2019/4/18,通信原理,7.2.2 行列监督码 用于检突发错 把发送的信息序列分成很多组，将它们排成矩阵，然后分别进行行、列偶校验。,图 (66,50)行列监督码,2019/4/18,通信原理,7.2.3 恒比码,码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。 由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因此恒比码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算接收码元中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。 目前我国电传通信中普遍采用 32 码，又称“5 中取 3”的恒比码，即每个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。这时可能编成的不同码组数目等于从 5 中取 3 的组合数 10，这 10 个许用码组恰好可表示

7、10 个阿拉伯数字，如表 1 所示。而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后，我国汉字电报的差错率大为降低。,2019/4/18,通信原理,表 1 32 恒比码,2019/4/18,通信原理,分组码是一组固定长度的码组，可表示为(n,k)，通常它用于前向纠错。在编码时，k位信息码元按一定规则被编码成码长为n的码组，而nk个监督位的作用就是实现检错与纠错。这样，一个k比特信息的分组码可以映射到一个码长为n的码组上。当监督码元与信息码元之间为线性关系时，则称为线性分组码。,7.3 线 性 分 组 码,2019/4/18,通信原理,现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码字为A=a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0，其中前 4 位是信息元，后 3 位是监督元， 可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监督元。,2019/4/18,通信原理,表 2 (7,4)码的码字表,2019/4/18,通信原理,7.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G,2019/4/18,通信原理,其中,P为rk阶矩阵，Ir为rr阶单位矩阵。可以写成H=P Ir形式的矩阵称为典型监督矩阵。

8、HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接收码字A是否出错的依据。,并简记为,2019/4/18,通信原理,若把监督方程补充为下列方程,2019/4/18,通信原理,可改写为矩阵形式,2019/4/18,通信原理,2019/4/18,通信原理,2019/4/18,通信原理,编码电路：,2019/4/18,通信原理,解码电路 1、数学分析 a、先判断码字有没有出错 b、计算校正子，然后确定错误图样并加以纠正。,2019/4/18,通信原理,伴随式(校正子)S,设发送码组A=an-1,an-2,a1,a0，在传输过程中可能发生误码。接收码组B=bn-1,bn-2,b1,b0，则收发码组之差定义为错误图样E， 也称为误差矢量， 即,其中E=en-1,en-2,e1,e0，且,当bi=ai,当biai,2019/4/18,通信原理,也可写作,令S=BHT，称为伴随式或校正子。,2019/4/18,通信原理,表 3 (7,4)码S与E的对应关系,2019/4/18,通信原理,2、具体解码电路,2019/4/18,通信原理,线性分组码的主要性质如下： （1）任意两许用码之和

9、仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性； （2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。,2019/4/18,通信原理,汉明码 汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组码。它有以下特点： （1）无论码长n为多少，汉明码最小码距dmin3，可纠正一位错误； （2）码长n与监督元个数r之间满足关系式： ，且r2。 通常二进制汉明码可以表示为： 例如上面介绍的(7,4)线性分组码就是一种汉明码。用来纠正单个错误时，汉明码所用的监督码元个数最少，效率最高。,2019/4/18,通信原理,（n, k)汉明码的设计 寻找H=？满足 例：码长n=15的汉明码监督位为多少？编码效率为多少？求出H。 解：,2019/4/18,通信原理,2019/4/18,通信原理,循环码是另一类重要的线性分组码，它除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性，即循环码组中任一码组(全“0”码组除外)循环移位所得的码组仍为该循环码中的一个许用码组。具体来说，对一码组左移、右移，无论循环移动多少位得到的结果均为该循环码中的一个码字。循环码的编码与解码电路比较简单，用反馈寄存器就可以实现。其纠错能力也较强，因此在实际中应用较广泛。,7.4 循 环 码,2019/4/18,通信原理,表 4 (7,3)循环码 的全部码字,2019/4/18,通信原理,1、为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项式来表示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循环码A=(an-1 an-2 a1 a0)，可以将它的码多项式表示为： xi是码元位置的标记，表示其系数所对应的码元在码字中所处的位置。例如表4中序号为5的码字可以用码多项式A5(x)=x6 + x4 + x + 1来表示。 2、若一个整数m可以表示为: 则在模n运算下，有mp（模n）。,2019/4/18,通信原理,同样对于多项式而言： 则可以写为：F(x)R(x) （模N(x)）。 式中Q(x)为商，r(x)为幂次低于n的余式。则在按模xn+1运算下，A(x)r(x)。 例如：x3被x3+1除余1，则按模x31运算时x31。 同理 按模x31运算时x4+x2+1x2+x+1。

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