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江苏省2019高考数学二轮复习考前冲刺必备六解题技法增分学案有答案

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常见问题

1、必备六解题技法增分技法一特例法在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省去了推理论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当会有事半功倍的效果.典型例题例1(1)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC=.(2)AD,BE分别是ABC的中线,若|AD|=|BE|=1,且AD与BE的夹角为120,则ABAC=.答案(1)45(2)23解析(1)利用特例法,令a=3,b=4,c=5,则ABC为直角三角形,cosA=45,cosC=0,从而所求值为45.(2)易知等边三角形为符合题意的ABC的一个特例,则|AB|=233,ABAC=|AB|AC|cos60=23.【方法归纳】当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值

2、进行处理.跟踪集训1.求值:cos2a+cos2(a+120)+cos2(a+240)=.2.已知m,n是直线,是平面,给出下列命题:若,则;若n,n,则;若内不共线的三点到的距离都相等,则;若n,m,且n,m,则;若m,n为异面直线,n,n,m,m,则.其中正确的命题是.(把你认为正确的命题序号都填上)3.如图,点P为椭圆x225+y29=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1S2=.技法二图解法典型例题例2(1)直线y=x+m与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点,则m的取值范围是.(2)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案(1)-1m1或m=-2(2)13,23解析(1)作出曲线x=1-y2的图形,如图所示.由图形可得,当直线y=x+m在b和c之间变化时,满足题意,同时

3、,当直线在a的位置时也满足题意,所以m的取值范围是-1m1或m=-2.(2)因为函数f(x)在R上单调递减,所以02+(4a-3)0+3af(0),3-4a20,0a1.解得13a34.在同一平面直角坐标系中作出函数y=|f(x)|,y=2-x3的图象,如图.由图象可知,在0,+)上,方程|f(x)|=2-x3有且仅有一个解;在(-,0)上,方程|f(x)|=2-x3同样有且仅有一个解,所以3a2,即a0,若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有4个不同的解,则实数k的取值范围为.技法三等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而得到正确的结果.典型例题例3对任意的|m|2,函数f(x)=mx2-2x+1-m恒负,则x的取值范围为.答案7-12,3+12解析对任意的|m|2,有mx2-2x+1-m0恒成立,等价于|m|2时,(x2-1)m-2x+10恒成立.设g(m)=(x2-1)m-2x+1,则原问题转化为g(m)0在-2,2上恒成立,则g(-2)0,g(2)0,2x2-2x-10,解得7-12x0).设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x

4、1,x2,且x1,x0,x2成等差数列,试探究G(x0)的符号.解析因为G(x)=x2+2-alnx-bx有两个零点x1,x2,所以x12+2-alnx1-bx1=0,x22+2-alnx2-bx2=0,两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0,即x2+x1-b=a(lnx2-lnx1)x2-x1,于是G(x0)=2x0-ax0-b=(x1+x2-b)-2ax1+x2=a(lnx2-lnx1)x2-x1-2ax1+x2=ax2-x1lnx2x1-2(x2-x1)x1+x2=ax2-x1lnx2x1-2x2x1-11+x2x1.当0x11,且G(x0)=ax2-x1lnt-2(t-1)1+t.设u(t)=lnt-2(t-1)1+t(t1),则u(t)=1t-4(1+t)2=(1-t)2t(1+t)20,则u(t)=lnt-2(t-1)1+t在(1,+)上为增函数,而u(1)=0,所以u(t)0,即lnt-2(t-1)1+t0.又因为a0,x2-x10,所以G(x0)0.当0x20.综上所述,G(x0)的符号为正.【方法归纳】本题涉及两个变量x1,x2,在解

5、题时利用换元法简化过程,然后构造函数,再利用导数法,结合函数单调性进行符号的判断.本题把式子x2x1看成一个整体,用变量t去代替它,从而达到化二元为一元的目的,同时使本来零乱、分散的问题得到简化.这种技巧在解题时非常重要,需要灵活运用.跟踪集训11.若f(lnx)=3x+4,则f(x)的表达式为.12.已知函数f(x)=4x,g(x)=2x,则方程f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)=229的解为.13.y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6在四面体ABCD中,若AB=CD=13,AC=BD=5,AD=BC=25,则该四面体的体积V=.答案8解析构造如图所示的长方体,并且满足AB=CD=13,AC=BD=5,AD=BC=25.设AP=p,AQ=q,AR=r,则p2+q2=AB2=13,r2+p2=AD2=20,q2+r2=AC2=25.由上述三式得p2+q2+r2=29,于是r=4,q=3,p=2.故V=V长方体-4VC-AQB=234-41341223=8.【方法归纳】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向.一般通过构造新的函数、不等式或数列等模型将问题转化为熟悉的问题.在立体几何中,补形构造是最常用的解题技巧

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