2019届高考数学二轮复习 立体几何 第2讲　平面与平面的位置关系 课时讲义

1、1 第 2 讲 平面与平面的位置关系 课时讲义 1. 平面与平面的位置关系主要考查平行与垂直，及线线、线面、面面之间的相互转化，对书写规范要求 比较高 2. 高考对面面关系考查的主要题型：(1) 证明面面平行或垂直；(2) 利用面面平行或垂直的条件，推证 线线、线面、面面的关系 1. 在正六棱柱的表面中，互相平行的平面有 _对 答案：4 解析：3 对侧面，1 对上下底面 2. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是_(填序号) A1BC1和 ACD1； BDC1和 B1D1C； B1D1D 和 BDA1； ADC1和 AD1C. 答案： 解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定，可知平面 A1BC1平面 ACD1. 3. (2018常州二中)一条直线与两个平行平面中的一个成 30角，且被两平面所截得的线段长为 2，那么 这两个平行平面间的距离是_ 答案：1 解析：本题主要考查两平面间的距离和直线与平面的所成角距离为 2sin301. 4. (2018启东中学)三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点 O，P 到三个面的距离分别是 3，4，5，则 O

2、P 的长为_ 答案：5 2 解析：以 P 到三个平面的距离为边作为长方体的三条边构造长方体，则 OP 为以 3，4，5 为边的长方体 的体对角线，所以 OP5. 3242522 , 一) 面面平行 , 1) 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 S 是 B1D1的中点，点 E，F，G 分别是 BC，DC，SC 的中点，求证： (1) 直线 EG平面 BDD1B1； (2) 平面 EFG平面 BDD1B1. 2 证明：(1) 如图，连结 BS，因为点 E，G 分别是 BC，SC 的中点， 所以 EGBS. 因为 BS平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1， 所以 EG平面 BDD1B1. (2) 因为 F，E 分别是 DC，BC 的中点，所以 FEBD. 因为 BD平面 BDD1B1，FE平面 BDD1B1， 所以 FE平面 BDD1B1， 由(1)知 EG平面 BDD1B1， 且 EG平面 EFG，FE平面 EFG，EGFEE， 所以平面 EFG平面 BDD1B1. (2018南京、盐城、连云港二模)如图，已知矩形 ABCD 所在平面与ABE 所在平面互相垂直， AEAB

3、，M，N，H 分别为 DE，AB，BE 的中点求证：MN平面 BEC. 证明：(证法 1) 取 CE 中点 F，连结 FB，MF. 因为点 M 为 DE 的中点，点 F 为 CE 的中点，所以 MFCD 且 MF CD. 1 2 因为在矩形 ABCD 中，点 N 为 AB 的中点，所以 BNCD 且 BN CD， 1 2 所以 MFBN 且 MFBN，所以四边形 BNMF 为平行四边形，所以 MNBF. 又 MN平面 BEC，BF平面 BEC，所以 MN平面 BEC. (证法 2 )取 AE 中点 G，连结 MG，GN. 因为点 G 为 AE 的中点，点 M 为 DE 的中点，所以 MGAD. 因为在矩形 ABCD 中，BCAD，所以 MGBC. 因为 MG平面 BEC，BC平面 BEC，所以 MG平面 BEC. 因为点 G 为 AE 的中点，点 N 为 AB 的中点，所以 GNBE. 3 因为 GN平面 BEC，BE平面 BEC，所以 GN平面 BEC. 因为 MGGNG，MG，GN平面 GMN，所以平面 GMN平面 BEC. 因为 MN平面 GMN，所以 MN平面 BEC. , 二

4、) 面面垂直 , 2) (2018苏州期末)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 E，F，G，H 分别是 A1D1，B1C1，D1D，C1C 的中点求证：平面 ABHG平面 CFED. 证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CD平面 B1BCC1，且 BH平面 B1BCC1， 所以 BHCD. 在正方形 B1BCC1中，因为 H，F 分别是 C1C，B1C1的中点， 所以 RtBCHRtCC1F，得HBCFCC1. 因为FCC1与BCF互余，所以HBC与BCF互余，即BHCF. 因为BHCD，BHCF，CDCFC，CD，CF平面CFED，所以BH平面CFED. 因为BH平面ABHG，所以平面ABHG平面CFED. (2018镇江期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D为BC的中点，ABAC，BC1B1D.求证：平 面A1BC1平面ADB1. 证明：因为ABAC，点D为BC的中点，所以ADBC. 因为ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面ABC. 因为AD平面ABC，所以BB1AD. 因为BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，BCBB1B，所以AD

5、平面BCC1B1. 又BC1平面BCC1B1，所以ADBC1. 因为BC1B1D，AD平面ADB1，B1D平面ADB1，ADB1DD， 所以BC1平面ADB1. 因为BC1平面A1BC1，所以平面A1BC1平面ADB1. , 三) 面面关系综合 , 3) 如图，已知斜棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，平面 AA1C1C平面 ABCD. 求证： (1) BD平面 AA1C1C； (2) 平面 AB1C平面 DA1C1. 4 证明：(1) 四边形 ABCD 是菱形， BDAC. 平面 AA1C1C平面 ABCD，平面 AA1C1C平面 ABCDAC，BD平面 ABCD， BD平面 AA1C1C. (2) 斜棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， B1C1AD 且 B1C1AD， 四边形 AB1C1D 是平行四边形， AB1C1D. C1D平面 DA1C1，AB1平面 DA1C1， AB1平面 DA1C1， 同理 B1C平面 DA1C1. 又 AB1B1CB1， 平面 AB1C平面 DA1C1. 如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 A1ABB1是菱形，且

6、垂直于底面 ABC，A1AB60，点E，F 分别是AB1，BC的中点 (1) 求证：直线EF平面A1ACC1； (2) 在线段AB上确定一点G，使平面EFG平面ABC，并给出证明 (1) 证明：如图，连结A1C，A1E. 因为侧面A1ABB1是菱形，点E是AB1的中点， 所以点E也是A1B的中点 又点F是BC的中点，所以EFA1C. 因为A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1， 所以直线EF平面A1ACC1. (2) 解：当 时，平面EFG平面ABC. BG GA 1 3 证明如下：如图，连结EG，FG. 因为侧面A1ABB1是菱形，且A1AB60， 所以A1AB是等边三角形 5 因为点E是A1B的中点， ，所以EGAB. BG GA 1 3 因为平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB， 所以EG平面ABC. 又EG平面EFG，所以平面EFG平面ABC. 1. (2018江苏卷)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：平面 ABB1A1平面A1BC. 证明：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平

7、行四边形 因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B. 因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC. 因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC. 2. (2017全国卷)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形， ABDCBD，ABBD.求证：平面 ACD平面 ABC. 证明：由题设得ABDCBD，故 ADDC. 又ACD 是直角三角形，所以ADC90. 取AC的中点O，连结DO，BO，则DOAC，DOAO. 又由于ABC是正三角形，故BOAC， 所以DOB为二面角DACB的平面角 在 RtAOB中，BO2AO2AB2. 又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90， 所以平面ACD平面ABC. 3. (2018全国卷)如图，在平行四边形 ABCM 中，ABAC3，ACM90，以AC为折痕将 ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA. (1) 求证：平面ACD平面ABC； (2) Q为线段AD上一点，P为线

8、段BC上一点，且BPDQDA， ，求三棱锥QABP的体积 2 3 6 (1) 证明：由已知可得，BAC90， BAAC. 又BAAD，且ACADA，所以AB平面ACD. 又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC. (2) 解：由已知可得DCMCAB3，DA3. 2 又BPDQDA，所以BP2. 2 32 过点Q作QEAC，垂足为点E，如图所示，则QEDC 31. 1 3 1 3 由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1. 因此三棱锥QABP的体积为 VQABP QESABP 1 3 1 32sin 451. 1 3 1 22 4. (2018全国卷)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的 CD CD 点 (1) 求证：平面 AMD平面 BMC； (2) 在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由 (1) 证明： 矩形 ABCD半圆面，平面 ABCD半圆面CD，ADCD， AD半圆面， AD平面 MCD. CM 在平面 MCD 内， ADCM. 7 M 是上异于 C，D 的点， CD CMMD. ADDMD

9、，AD，DM平面 ADM， CM平面 ADM. CM 在平面 BCM 内， 平面 ADM平面 BMC. (2) 解：线段 AM 上存在点 P 且点 P 为 AM 的中点理由如下： 连结 BD，AC 交于点 O，连结 PD，PB，PO. 在矩形 ABCD 中，O 是 AC 的中点，P 是 AM 的中点， OPMC. OP 在平面 PDB 内，MC 不在平面 PDB 内， MC平面 PDB. (本题模拟高考评分标准，满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F 分别是棱 BC 和 CC1的中点 (1) 若点 M 为 AA1的中点，求证：BM平面 AEF； (2) 若 ABAC，B1EEF，求证：平面 AEF平面 AB1E. 思路分析：本题考查空间线面关系，考查平行和垂直关系(1) 要证明线面平行，要通过线线平行来证 明，所以，本题的关键是在平面 AEF 中找一条直线和 BM 平行；(2) 要证明面面垂直，可通过线面垂直的性 质来证明，即要寻找垂直于平面的直线，可通过 B1E平面 AEF 来证明 证明：(1) 如图，连结 MC，交 AF 于点 O，连结 OE，MF. 因为点 M 为棱 AA1的中点，点 F 是棱 CC1的中点，AA1CC1， 所以 AMCF. 因为 AMCF，所以四边形 ACFM 是平行四边形， 所以点 O 是 MC 的中点(4

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