人教版八年级数学上册《第14章因式分解的高端方法及恒等变形》讲义

1、1 满满分晋分晋级级 漫画漫画释义释义 小人物与大人物 6 因式分解的高端 方法及恒等变形 代数式 11 级 因式分解的高端方法及 恒等变形 代数式 10 级 因式分解的常用方法及应用 代数式 7 级 因式分解的 概念和基本方法 秋季班第六讲 秋季班第五讲 暑期班第六讲 2 知知识识互互联联网网 思路思路导导航航 换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应 用换元法能够起到简化计算的作用 例例题题精精讲讲 【引例】分解因式： 2222 (48)3 (48)2xxx xxx 【解析】令， 2 48xxu 原式 22 32()(2 )uxuxux ux 又 2 48uxx 原式 22 (48)(482 )xxx xxx 22 (58)(68)xxxx 2 (2)(4)(58)xxxx 典典题题精精练练 【例 1】 分解因式： 题题型一：型一：换换元法元法 3 ； 22 353xxxx ； 22 1212xxxx 135715xxxx 【解析】解法一：令，则 2 4xxy 原式113yy 22yy 22 62xxxx 1223xxxx 解法二：令，则

2、 2 3xxy 原式23y y 2 23yy 13yy 22 3 133xxxx 22 26xxxx ；1223xxxx 令，则 2 1xxy 原式112y y 2 12yy 34yy 22 25xxxx 2 125xxxx 备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算， 会节省计算量下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了 原式 173515xxxx ， 22 8781515xxxx 设，则 2 87xxy 原式815y y 2 81535yyyy 22 810812xxxx 2 26810xxxx 【例 2】 分解因式： 4 6141 3119xxxxx 16 6121 31125xxxx 【解析】 原式， 224 671 12719xxxxx设， 2 671xxt 4 原式 22 2422 693971txtxtxxx 原式 22 6142624425241622416825xxxxxxxx 设，原式 2 24162xxt 2 2 2 1025524163t ttxx 思路思路导导航航 基本方法示例剖析 拆项添项法拆项添项法：为了分组

3、分解，常常采用拆项添项的 方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以 应用公式. 常用思路：常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式， 拆开中项是最常见的. 2、配方法是一种特殊的添项法，配完 全平方的时候，往往需要添上一个 适当的项或者讲某一项适当改变， 然后在用提取公因式或公式法解决. 例如：因式分解： 42 31xx 422 2 22 22 21 1 11 xxx xx xxxx 例例题题精精讲讲 【引例】分解因式： 32 332aaa 【解析】解法一：原式 32 3311aaa 3 3 11a 来源:学科网 2 1 1111aaa 2 21aaa 解法二：原式 322 222aaaaa 2 222aaa aa 2 21aaa 解法三：原式 322 222aaaaa 22 121a aaaa 2 21aaa 解法四：原式 32 1333aaa 22 1131aaaaa 题题型二：拆、添型二：拆、添项项及配方法及配方法 5 2 21aaa 【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项2 都拆项后再分解 典典题题精精练练 【例 3】

4、因式分解：若，则的值等于( )1xy 43222234 585xx yx yx yxyxyy A B C D 0113 若点的坐标满足，求点的坐标Pab。 2222 1016=0a bababP 【解析】 43222234 585xx yx yx yxyxyy 433222222334 3223 322223 22 22 2 4444 44 33 3 2 1 xx yx yx yx yxyx yxyxyy xxyx y xyxy xyxyxyyxy xx yx yxyxyyxy xxyxy xyyxyxy xxyy xy 故选 C 原式 2222 =8162=0a bababab 22 =4=0abab =4=0abab， 或=2=2ab，=2=2ab ， 点的坐标为或P22。22 。 【例 4】 分解因式： 4224 xx yy 22 4443xxyy 432 2321xxxx 【解析】 原式 422422 2xx yyx y 2 2 22 xyxy 2222 xyxyxyxy 原式 22 (441)(44)xxyy 22 (21)(2)xy (212)(212)xyxy (23)(

5、21)xyxy 6 法一 432 2321xxxx 4322 2221xxxxx 2 (1)2 (1)1x xx x 2 (1)1x x 22 (1)xx 法二 432432322 2321=1xxxxxxxxxxxx 2 22222 =111 =1xxxx xxxxxx 【例 5】 分解因式： 3 43115xx 32 256xxx 32 374xx 432 433xxxx 【解析】 原式 3 43015xxx 2 212115 21 21215 21253 xxxx xxx xxx 原式 322 56xxxx 2 2 161 16 132 xxxx xxx xxx 法一：原式 322 364xxx 2 2 3222 232 1232 xxxx xxx xxx 法二：原式 322 3344xxx 2 2 31411 1 344 1232 xxxx xxx xxx 法三：原式 322 3294xxx 2 2 323232 3232 1232 xxxx xxx xxx 法一：原式 4322 ()(333)xxxxx 222 22 (1)3(1) (3)(1) xxxxx xxx 法二：原

6、式 4232 (3)(3 )(3)xxxxx 7 22 (3)(1)xxx 【探究对象】 对拆项、添项法的探究 【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究 1】因式分解：来源:Z。xx。k.Com 223 1baxabx 【解析】 原式= 2 11axaxbx 点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法， 如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式 子，整理完后在继续分解. 【探究 2】因式分解： 3232 33332aaabbb 【解析】 原式= 22 21abaabbab 点评：此题前三项比完全立方公式少了 1，四五六项比完全立方公式少 1，所以想办法通过拆项或 添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握 熟练. 【探究 3】因式分解： 46 2x 【解析】 原式= 22 8484xxxx 点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方 法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解. 例题中有类似的题目

7、，难度相对比较大，学生不容易想到. 【备选例题】 32 6116xxx 【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘. 原式 3222 556615161123xxxxxxxx xxxxx 点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为，因为没有学十字相乘法 2 156xxx 分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.来源:学科网 ZXXK 来源:Zxxk.Com 题题型三：恒等型三：恒等变变形形 8 例例题题精精讲讲 【引例】矩形的周长 28cm，两边长为、，且，求矩形的面积cmxcmy 3223 0xx yxyy 【解析】由题得，则2()28xy14xy 3223 0xx yxyy 22 ()()0xxyyxy 22 ()()0xy xy ()()()0xy xy xy 14xy 0xy 77xy， 49Sxy 矩 典典题题精精练练 【例 6】 设，试判断的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否2 =3xzy 222 944xyzxz 则，请说明理由； 证明：对于任意自然数 n，一定是 10 的倍数； 22 3232 nnnn 已知：（b、c 为整数）是及的公因式，求 b、c 2 xbxc 42 625xx 42 34285xxx 的值 【解析】把进行因式分解得： 222 944xyzxz 2 2 29=2323xzyxzyxzy 把代入式子得原式是定值为 0；2 =3xzy 原式 22

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