2020考研数学二知识点结构图总结

1、24 2020考研数学二知识点结构图总结2020考研数学二知识点结构图总结 第一部分高等数学 第一章函数、极限与连续性 函 数 、 极 限 与 连 续 函数的性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性） 复合函数与反函数 常见的函数形式（初等函数、分段函数、隐函数等） 连续性与间断点的定义 连续函数的性质 判断连续性与间断 点类型的方法 （初等函数连续性连续函数运算性质，间断类型判别） 极限的定义与性质、极限存在与否的判别方法 未定式 （ “ 0 0 ”型或“ ”型） 其他未定式（转化为“ 0 0 ” ，或 “ ” ） 直接用运算法则 分别求左右极限 （四则运算、幂指数运算、代入法） 函数极限 数列 极限 递归数列 1 ( ) n xf n + = n 项积数列（恒等变形，转化为n 项和） n 项和数列（恒等变形，转化为n 项和） 一般情形（转化为函数极限、夹逼定理、恒等变形） 求 极 限 的 方 法 连续性 极限 基本初等函数的性质及图形 无穷小 定义与性质 无穷小阶的比较与 无穷小阶的确定方法 （最大值和最小值定理， 零点定理，介值定理） 函数 函数基本概念 25 第二章导数与微分 平面

2、曲线的切线与法线 平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径 判断函数的凹凸性 某些物理量的描述 定义法 分段函数求导法 幂指数函数 () ( ) g x f x求导法 反函数求导法 变限积分求导法 导数与微分的四则运算法则 复合函数求导法 由复合函数求导法导出的微分法则 定义 几何意义与物理意义 相互关系可微?可导?连续 奇偶函数与周期函数的导数性质 导数、微分与可微概念? 求导方法 基本导数表 微分法则 隐函数求导法 参数式求导法 求某些 n 阶导数表达式的方法 函数的可导性及导函数的连续性的判断 简单应用 导 数 与 微 分 26 第三章不定积分 几何意义与物理意义 原函数的存在性 不定积分 原函数 不定积分 凑微分法 常用的变量代换 基本积分表 积 分 计 算 基本概念 基本性质 ( )d( )dkf xxkf xx= F ( )dF( )xxxc=+ ( )d( )f xxf x ? ? = ? 定义 积 分 法 则 分项积分法 换元积分法 分段积分法 分部积分法 有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分 ( )( )d( )d( )df xg xxf xxg xx+=+ （ 27

3、 第四章定积分的计算及其应用 定义 几何意义与物理意义 函数的可积性 基本概念 反常积分 定义计算 分项积分法 换元积分法 分部积分法 基本公式 分段积分法 基本积分表 几何应用 平面图形的面积与旋转体的体积 平面曲线的弧长、旋转体的侧面积、平行截面面积、已知的立体体积 物理应用 定 积 分 的 计 算 及 其 应 用 牛顿莱布尼茨公式 变限积分所定义的函数的连续性、可导性及可导公式 定积分 积分法则 +极限运算法则 若干基本的反常积分 积 分 的 计 算 积 分 法 则 应 用 变力做功、引力、压力、质心（形心）、函数平均值 定积分的性质 积分中值定理 奇偶函数与周期函数的积分性质 非负连续函数的积分性质 等式表示的与不等式表示的 28 第五章多元函数的微分与应用 多元函数、二元函数的极限与连续性、有界闭区域上连续函数的性质 偏导数、可微性与全微分的定义 基本概念 求初等函数的偏导数与全微分 计算 求带函数记号的复合函数的全微分 及一、二阶偏导数 求隐函数的一、二阶偏导数或全微分 变量替换下方程的变形 最值问题 应用 二元函数极值判别法 简单极值问题的解法 条件极值问题的解法 多 元

4、 函 数 的 微 分 与 应 用 基本概念之间的关系 两个偏导函数 连续? ? 函数 可微 函数连续 ? ? 函数存在偏 导数 ? ? 微分法则 全微分四则 运算法则 复合函数求导法 与一阶全微分形 式不变性 29 第六章二重积分 基本概念 二 重 积 分 计算公式的应用 基本性质 计算 在直角坐标系中化二重积分为二次定积分公式 二重积分的极坐标变换 计算公式 怎样用计算公式 及简化计算问题 （先 y 后 x 与先 x 后 y 的情形） 分块积分法，选择积分顺序（交换积分顺序）、是否 选择极坐标、利用几何意义、利用区域对称性与被 积函数奇偶性 （累次积分的交换与转换） 30 第七章常微分方程 变量可分离的方程 一阶线性微分方程 通解（即所有解）的结构 解的叠加原理 基本概念 可化为基本类型的 一阶微分方程 二阶微分方程（含某些高价的情形） （解、阶、通解、特解、初值问题） 一、二阶线性微分方程的性质 基本类型 齐次微分方程 解 法 可降阶的类型 二阶线性常系数微分方程 齐次 非齐次 可化为求解微分方程的情形 （含变限积分的方程） 简单应用及如何列方程 利用定积分的几何意义、利用导数的几

5、何意义、 利用 变化率满足的规律 利用牛顿第二定律、质点运动的轨迹、微分分析法 常 微 分 方 程 31 第二部分线性代数 第一章行列式 概念 1 n ijij j AA = = (第 i 行展开 ) 不同行，不同列的几个元素的乘积 展开式中项的符号 代数余子式 展开公式 展开式中所有项的项数为n！ 数字型 抽象型 定义法 应用 经转置的行列式的值不变 行 列 式 三要素 性质 互换行列式的两行（列） ，行列式变号 行列式的某一行（列）所有元素都同乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式于零 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和 把行列式的某一行（列）的各元素同乘以常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变 展开式 1 n ijij j AA = = (第 j 行展开 ) 公式法 递推法 用行列式的性质 用矩阵的性质 用特征值（ 1 = n i A = ）及相似性质 克莱姆法则 伴随矩阵求逆 判定线性无关 计算特征值 证明0A = AA= - ( )r An 0 是 A 的一个特征值 计算特征值 反证

6、法 求解线性方程组 32 第二章矩阵 行矩阵 列矩阵 零矩阵 反对称矩阵0 T ijjiii AAaaa= -?= -=， mn 个数排成的n行 n 列的数表 概念 特 殊 矩 阵 单位矩阵 对角矩阵 0() ij aij 可交换矩阵AB=BA 共轭矩阵A为A的共轭矩阵 正交矩阵 1TTT AAA AEAA - =?= 伴随有矩阵 * AAA AA E= 运算A+B ，kA, AB,A T方阵的幂 A n 逆矩阵 求法 定义法 AB=E(或BA=E)，则A 可逆，A-1=B 伴随矩阵法 1* 1 AA A - = 分块矩阵法 1 1 1 AA B B - - - ? ? = ? ? ? ? 0 0 0 ， 1 1 1 AA B B - - - ? ? = ? ? ? ? 00 0 0 初等变换法 1 ()()A EE A - 行 定义法 0A ()r An= 特征值法 反证法 证法 初等矩阵 初等矩阵 P 左（右）乘 A 所得 PA（AP）就是 A作 3 次与P同样的行（列）变换 1 ijij EE - =， 1 1 ( )() ii EkE k - =， 1( ) () ijij E

7、kEk - =- 等价ABPAQB?=，其中P与Q可逆 概念 性质 概念 初等变换求矩阵的秩 矩 阵 初等变换 矩阵的秩 33 第三章向量 n 维向量、向量线性组合概念 运算加法、数乘、内积 Schmidt 正交化 线性表出 概念 判定 向量组等价 充要条件 充分条件 方程组 1122nn xxx+=有解 1212 (,)(,) nn rr = 12 , n ，线性无关， 12 , n 线性相关 12 , s 与 1, , t 可互相线性表出 线性相关 概念 判别 充要条件 充分条件 齐次方程组（ 13 , s ）x=0 有非零解 12 (,) s r S 某(1,2, ) i is=可由其余S-1 个向量线性表出 n+1 个n维向量 多数向量可由少数向量线性表出 线性无关 概念 判别 充要条件 充分条件 齐次方程组（ 13 , s ）x=0 只有零解 12 (,) s r =S 向量() ii ?不能由其余向量线性表出 阶梯形向量组 极大线性无关组 概念 求法 向量组的秩 概念 求法 向 量 34 第四章线性方程组 初等行变换 矩阵形式 线 性 方 程 组 阶梯形 Ax=b 有解判定

8、 r(A)=rA解的结构 导出组 通解 向量形成 1122 0 nn xxx+= 有非 0 解 12 , n 线性表出 1122nn xxx+= 解 可由 12 , n 线性表出 解的结构 特解，通解 自由变量 解的性质 若 12 ,都是Ax=b的两个解， 则 12 -是Ax=0 的解 若 12 ,是Ax=0 的两个解，则 122 kk+是Ax=0 的解 若是Ax=b的解，是Ax=0的解，则 +是Ax=b的解 35 第五章矩阵的特征值与特征向量 矩阵的特征值与特征向量 定义 性质 求法 不同特征值的特征向量线性无关 n重特征值至多有n个线性无关的特征向量 特征值 相似 定义法 特征多项式法0EA-= 111 , nnn iiii iii aA = = 基础解系法()0EA x-= 定义法 性质 特征向量 1 P APB - = TT AB= EAEB-=- 11 nn iiii ii ab = = ()( )r Ar B= AB= 定义 11 AB - （若A，B均可逆） ,AB BC，则AC 实对称矩阵 特性 可对角化 充分条件 充要条件 A 有 n 个线性无关的特征向量 A 是实对称矩阵 A 有 n 个不同的特征值 () i rEAnn-=-，其 i 为 i n重特征值 与对角矩阵相似 可用正交矩阵对角化 特征值全是实数 不同特征值的特征向量相互正交 () ii rEAnn-=- 36 第六章二次型 合同 定义 充要条件 充分条件 （ T C ACB=，C可逆；A，B实对称AB） （ 7 x Ax与 T x Bx有相同的正负惯性指数） （AB） 惯性定理正、负惯性指数 标准形 二 次 型 化标准形 配方法 正交变换法 矩阵表示 T x Ax 二次型的秩r( f ) 定义 充分条件 T x Ax0 （0x?）A为正定矩阵 ii a0 A0 正定 充要条件 T C ACE=，其中C可逆 i 0（1,in=） T AC C=，其中C可逆 顺序主子式全大于0 正惯性指数P=n

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