2019年中考数学专题复习第二十六讲相似图形(含详细参考答案)

1、2019年中考数学专题复习第二十六讲 相似图形【基础知识回顾】一、 成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度单位的两条线段，的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们 的比，即：= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果= 那么四条线段叫做成比例线段，简称 3、比例的基本性质：= 4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应线段 ，推论：平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段 。【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须采用相同的 ，在采用了相同单位的前提下，两条线段的比值与采用的单位无关 即比值没有单位。2、黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC）如果 那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫黄金比，即= 】二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：相似三角形的对应角 对应边 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 相似三角形周长的比等于 面积的比等于 1、 判定：基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两边是延长线相交，所截得的三角形与原

2、三角形相似 两边对应 且夹角 的两三角形相似 两角 的两三角形相似 三组对应边的比 的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证 判定方法中最常用的是 ，三组对应边成比例的两三角形相似多用格点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：相似多边形对应角 对应边 相似多边形周长的比等于 面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】四 位似： 1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点的连线 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】【重点考点例析】考点一：平行线分线段成比例例1 （2018嘉兴）如图，直线l1l2l3，直线AC

3、交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则= 【思路分析】根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答【解答】解：，=2，l1l2l3，=2，故答案为：2【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键考点二：位似例2（2018潍坊）在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（）A（2m，2n）B（2m，2n）或（-2m，-2n）C（m，n）D（m，n）或（-m，-n）【思路分析】根据位似变换的性质计算即可【解答】解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（m2，n2）或（m（-2），n（-2），即（2m，2n）或（-2m，-2n），故选：B【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k考点三：相似三角形的性质及其应用例3 （2018江西）如图，在ABC中，AB=8，BC=

4、4，CA=6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长【思路分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD，求出BC=CD=4，证AEBCED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案【解答】解：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE， ， ，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=4【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，能求出AE=2CE和ABECDE是解此题的关键考点四：相似三角形的判定例4（2018邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF写出图中任意一对相似三角形： 【思路分析】利用平行四边形的性质得到ADCE，则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ADCE，ADFECF故答案为ADFECF【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相

5、似也考查了平行四边形的性质考点五：相似三角形的判定和性质例5（2018福建）如图，在RtABC中，C=90，AB=10，AC=8线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到，EFG由ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D（1）求BDF的大小；（2）求CG的长【思路分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，ABD=45，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出ADE=ACB，进而得出ADEACB，得出比例式求出AE，即可得出结论【解答】解：（1）线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90得到，DAB=90，AD=AB=10，ABD=45，EFG是ABC沿CB方向平移得到，ABEF，BDF=ABD=45；（2）由平移的性质得，AECG，ABEF，DEA=DFC=ABC，ADE+DAB=180，DAB=90，ADE=90，ACB=90，ADE=ACB，ADEACB， ，AC=8，AB=AD=10，AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出A

6、DEACB是解本题的关键考点六：相似形的综合题例6（2018宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形（1）已知ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD平分ABC，BAC=ADC求证：ABC是比例三角形（3）如图2，在（2）的条件下，当ADC=90时，求 的值【思路分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BCAC、BC2=ABAC、AC2=ABBC三种情况分别代入计算可得；（2）先证ABCDCA得CA2=BCAD，再由ADB=CBD=ABD知AB=AD即可得；（3）作AHBD，由AB=AD知BH=BD，再证ABHDBC得ABBC=BHDB，即ABBC=BD2，结合ABBC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案【解答】解：（1）ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，当AB2=BCAC时，得：4=3AC，解得：AC=；当BC2=ABAC时，得：9=2AC，解得：AC=；当AC2=ABBC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；所以当AC=或或时，ABC是比

7、例三角形；（2）ADBC，ACB=CAD，又BAC=ADC，ABCDCA， ，即CA2=BCAD，ADBC，ADB=CBD，BD平分ABC，ABD=CBD，ADB=ABD，AB=AD，CA2=BCAB，ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AHBD于点H，AB=AD，BH=BD，ADBC，ADC=90，BCD=90，BHA=BCD=90，又ABH=DBC，ABHDBC， ，即ABBC=BHDB，ABBC=BD2，又ABBC=AC2，BD2=AC2，【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，解题的关键是理解比例三角形的定义，并熟练掌握相似三角形的判定与性质【备考真题过关】一、选择题1（2018白银）已知（a0，b0），下列变形错误的是（）A B2a=3bC D3a=2b2（2018昆明）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算-1的值（）A在1.1和1.2之间B在1.2和1.3之间C在1.3和1.4之间D在1.4和1.5之间3.（2018乐山）如图，DEFGBC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）AEG=4GCBEG=3GCCEG=GCDEG=2GC4（2018邵阳）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作ABx轴于点B将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到COD，则CD的长度是（）A2 B1 C4 D2 5（2018重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A3cmB4cmC4.5cmD5cm6（2018内江）已知ABC与A1B1C1相似，且相似比为1：3，则ABC与A1B1C1的面积比为（）A1：1B1：3C1：6D1：97（2018临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD8（2018自贡）如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若ADE的面积为4，则ABC的面积为（）A8B12C14D16二、填

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