2019届江苏省苏锡常镇四市高三第二次模拟考试-数学(理)(pdf版)

1、2019 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数数 学学 理理 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1. 已知集合 A0，1，2，Bx|10， 若 f(a1)1 2，则实数 a_ 8. 中国古代著作张丘建算经有这样一个问题“今有马行转迟，次日减半疾，七日 行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七 天一共行走了 700 里，则这匹马在最后一天行走的里程数为_ 9. 已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为_ 10. 设定义在区间 0， 2 上的函数 y3 3sin x 的图象与 y3cos 2x2 的图象交于点 P， 则点 P 到 x 轴的距离为_ 11. 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 5a8b， A2B， 则 sin A 4 _ 12. 若在直线 l：axy4a0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，在圆 O：x2y21 上存在点 C， 使得ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)， 则实

2、数 a的取值范围是_ 13. 在ABC 中，已知 AB2，AC1，BAC90 ，D，E 分别为 BC，AD 的中点， 过点 E 的直线交 AB于点 P，交 AC 于点 Q，则BQ CP 的最大值为_ 14. 已知函数 f(x)x2|xa|，g(x)(2a1)xaln x，若函数 yf(x)与函数 yg(x)的 图象恰好有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围是_ 二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明，证明过程或演算 步骤 15. (本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 DABC 中，已知 ACBC，ACDC，BCDC，E，F 分别为 BD，CD 的中点求证： (1) EF平面 ABC； (2) BD平面 ACE. 16. (本小题满分 14 分) 已知向量 a(2cos ，2sin )，b(cos sin ，cos sin ) (1) 求向量 a 与 b 的夹角； (2) 若(ba)a，求实数 的值 17. (本小题满分 14 分) 某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化已知空地的一边是直路 AB，余下的外围 是抛物线的一段弧，直路 AB 的中垂线恰是

3、该抛物线的对称轴(如图)拟在这个空地上划出 一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪，其中点 A，B，C，D 均在该抛物线上经测量，直路 的 AB长为 40 米，抛物线的顶点 P 到直路 AB的距离为 40 米设点 C 到抛物线的对称轴的 距离为 m 米，到直路 AB的距离为 n 米 (1) 求出 n 关于 m 的函数关系式； (2) 当 m 为多大时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，焦点到相应准线的距离为 3 3 . (1) 求椭圆 E 的标准方程； (2) 已知 P(t，0)为椭圆 E 外一动点，过点 P 分别作直线 l1和 l2，直线 l1和 l2分别交椭圆 E 于点 A，B和点 C，D，且直线 l1和 l2的斜率分别为定值 k1和 k2，求证：PA PB PC PD为定值 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)(x1)ln xax(aR) (1) 若函数 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 xyb0，求实数 a，b 的值； (2) 设函

4、数 g(x)f（x） x ，x1，e(其中 e 为自然对数的底数) 当 a1 时，求函数 g(x)的最大值； 若函数 h(x) g（x） ex 是单调减函数，求实数 a 的取值范围 20. (本小题满分 16 分) 定义：若有穷数列 a1，a2，an同时满足下列三个条件，则称该数列为 P 数列 首项 a11；a14，且数列 b1，b2，bn是 P 数列，求证：数列 b1，b2，bn是等比数列 2019 届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按 作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知 x，yR， 1 2 是矩阵 A x 1 0 y 属于特征值1 的一个特征向量，求矩阵 A 的 另一个特征值 B. 选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中，已知直线 l：sin 3 0，在直角坐标系(原点与极点重合，x 轴的正 方向为极轴的正方向)中，曲线 C 的参数方程为

5、yt 1 4t， xt 1 4t (t 为参数)设直线 l 与曲线 C 交 于 A，B两点，求 AB的长 C. 选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 若不等式|x1|xa|5 对任意的 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 22. (本小题满分 10 分) 从批量较大的产品中随机取出 10 件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为 0.05， 随机变量 X 表示这 10 件产品中的不合格产品的件数 (1) 问：这 10 件产品中“恰好有 2 件不合格的概率 P(X2)”和“恰好有 3 件不合格的 概率 P(X3)”哪个大？请说明理由； (2) 求随机变量 X 的数学期望 E(X) 23. (本小题满分 10 分) 已知 f(n)C 2 4 C36 C36 C48 C48 C510 Cn2n Cn 1 2n2，g(n) C44 C36 C56 C48 C68 C510 Cn 2 2n Cn 1 2n2，其中 nN *，n2. (1) 求 f(2)，f(3)，g(2

6、)，g(3)的值； (2) 记 h(n)f(n)g(n)，求证：对任意的 mN*，m2，总有 . 2019 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试(十一十一)(苏锡常镇苏锡常镇) 数学参考答案数学参考答案 10 2.4 3. (1，0) 4.1 2 5.40 6. 3 2 7.log23 8.700 127 9.2 10.3 11. 17 2 50 12. 3 3 ， 3 3 13.9 4 14. (1，) 15. (1) 在三棱锥 DABC 中，因为 E 为 DC 的中点，F 为 DB的中点，所以 EFBC.(3 分) 因为平面 ABC，平面 ABC， 所以 EF平面 ABC.(6 分) (2) 因为 ACBC，ACDC，BCDCC， 所以 AC平面 BCD.(8 分) 因为平面 BCD，所以 ACBD.(10 分) 因为 DCBC，E 为 BD 的中点， 所以 CEBD.(12 分) 因为 ACCEC，所以 BD平面 ACE.(14 分) 16. (1) 设向量 a 与 b 的夹角为 . 因为|a|2， |b|（cossin）2（cossin）2 2，(4 分) 所以 c

7、os a b |a| |b| （2cos，2sin） （cossin，cossin） 2 2 2cos 22sin2 2 2 2 2 .(7 分) 因为 0，所以向量 a 与 b 的夹角为 4.(9 分) (2) 若(ba)a，则(ba) a0， 即 b aa20.(12 分) 因为 b a2，a24，所以 240，解得 2.(14 分) 17. (1) 以路 AB所在的直线为 x 轴， 抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系， (1 分) 则点 A(20，0)，B(20，0)，P(0，40)(2 分) 因为曲线段 APB为抛物线的一段弧， 所以可以设抛物线的解析式为 ya(x20) (x20)， 将点 P(0，40)代入，得 40400a， 解得 a 1 10，(4 分) 所以抛物线的解析式为 y 1 10(400x 2)(5 分) 因为点 C 在抛物线上， 所以 n 1 10(400m 2)，00，(6 分) 所以 g(x)0， 函数 g(x)在区间1， e上单调递增， 所以函数 g(x)的最大值为 g(e)1 e.(8 分) 同理，单调增函数 g(x)f（x） x a，a11

8、 e，(9 分) 则 h(x) 1 x1 lnxa 1 ex. 1 若 a0，g(x)0，h(x) 11 x lnxa ex ， h(x) 1 x2lnx 1x x2 11 x lnxa ex （1xx 2）lnxax2x1 x2ex 0， 令 u(x)(1xx2)lnxax2x1， 则 u(x)(12x)lnx1 x(2a1)x0， 所以函数 g(x)f（x） x 在区间1，e上单调递增 又 g(1)g(e)a a11 e 1， 所以 P(X2)P(X3)，即恰好有 2 件不合格的概率大(6 分) (2) 因为 P(Xk)pkCk10pk(1p)10 k，k0，1，2，10. 随机变量 X 的概率分布为： X 0 1 2 10 pk C010p0(1p)10 C110p1(1p)9 C210p2(1p)8 C1010p10(1p)0 故 E(X)0.5.(9 分) 故随机变量 X 的数学期望 E(X)为 0.5.(10 分) 23. (1) f(2)C 2 4 C36 3 10，f(3) C24 C36 C36 C48 41 70， g(2)C 4 4 C36 1 20，g(3) C44 C36 C56 C48 19 140.(3 分) (2) 因为C k 2kC k2 2k Ck 1 2k2 （2k）！ （k！） （k！） （2k）！ （k2）！ （k2）！ （2k2）！ （k1）！ （k1）！ （k1） 2（k2）（k1）k（k1） （2k2）（2k1）（k2） （k1）（4k2） （2k2）（2k1）（k2） 1 k2，(4 分) 所以 h(n)f(n)g(n) k2 nC k 2kC k2 2k Ck 1 2k2 k2 n 1 k2.(5 分) 下面用数学归纳法证：对任意的 mN*，m2，总有 h(2m)m1 2 . 当 m2 时，h(4)1 4 1 5 1 6 37 60 1 2，命题成立； 当 m3 时，h(8)37 60 1 7 1 8 1 9 1 10 37 60 4 10 37 60 24 601，命题成立(6 分) 假设当 mt(

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