《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：2.2.1.2对数的运算

1、第2课时 对数的运算,主题1 对数的运算性质 1.设loga2=m,loga3=n.如何求am+n? 提示:因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3, 故am+n=aman=23=6.,2.上题中条件若换为logaM=m,logaN=n,如何求am+n呢? 提示:因为logaM=m,logaN=n, 所以am=M,an=N,故am+n=aman=MN.,3.在问题2的基础上,怎么用m,n表示loga(MN),还能得到什么结论? 提示:loga(MN)=m+n=logaM+logaN.,结论:对数的运算性质 如果a0,且a1,M0,N0,那么: (1)_. (2)_. (3)_.,loga(MN)=logaM+logaN,logaMn=nlogaM,【微思考】 1.运算性质中底数a能等于零或小于零吗,真数M,N呢? 提示:由对数的定义知底数a0且a1,故a不能小于或等于0,M,N均为正数.,2.对数的运算性质loga(MN)=logaM+logaN能否推广为loga(a1a2an)=logaa1+logaa2+logaan(a0且a1,an0,nN*). 提示:能.lo

2、ga(a1a2an-1)an=loga(a1a2 an-1)+logaan=loga(a1a2an-2) +logaan-1+ logaan=logaa1+logaa2+logaan.,主题2 换底公式 1.假设 =x,则log25=xlog23,即log25=log23x,从而有3x=5,将其化为对数式,进一步可得到什么结论? 提示:由3x=5知x=log35,即log35=,2.同样由 =x,你能证明等式log35= 吗? 提示:由 =x,知log65=xlog63,即log65=log63x, 从而有5=3x,所以x=log35,即log35=,3.若将问题1,2中的底数2与6换为c(c0且c1). =log35还成立吗? 提示:成立,证明如下: 设 =x,则logc5=xlogc3,即logc5=logc3x, 从而有5=3x,即x=log35,所以log35= (c0且c1).,结论:对数的换底公式 logab=_(a0且a1,c0且c1,b0).,【微思考】 1.换底公式中底数c是特定数还是任意数? 提示:是大于0,且不等于1的任意数. 2.换底公式有哪些作用? 提示:利用

3、换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数,便于应用对数的运算性质进行化简、求值.,【预习自测】 1.若a0且a1,xy0,nN*,则下列各式: logaxlogay=loga(x+y); logax-logay=loga(x-y); loga(xy)=logaxlogay; ,(logax)n=logaxn; logax=-loga ; loga =-loga 其中式子成立的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,【解析】选A.对于,取x=4,y=2,a=2,则log24log22=21=2,而log2(4+2)=log262,所以logaxlogay=loga(x+y)不成立; 对于,取x=8,y=4,a=2,则log28-log24=1log2(8-4) =2,所以logax-logay=loga(x-y)不成立;,对于,取x=4,y=2,a=2,则log2(42)=log28=3, 而log24log22=21=23,所以loga(xy)=logaxlogay不成立; 对于,取x=4,y=2,a=2,则 =2log2 =1, 所以 不成立;,对于,取x=4,a=2,n

4、=3,则(log24)3=8log243=6,所以(logax)n=logaxn不成立; 成立,-loga =-logax-1=loga(x-1)-1=logax; 成立,loga =loga = logax; 成立,2.lgx=a,lgy=b,则 的值为 ( ) A. a-2b-2 B. a-2b+1 C. a-2b-1 D. a-2b+2 【解析】选D.原式= lgx-2(lgy-1)= a-2b+2.,3.计算log2781= ( ) 【解析】选A.log2781=,4.计算log42+log48=_. 【解析】log42+log48=log416=2. 答案:2,类型一 对数运算性质的应用 【典例1】(2017烟台高一检测)计算下列各式的值. (1) (2)log535-2log5 +log57-log51.8. (3),【解题指南】利用对数的运算性质将同底数的对数的和、差、倍合并,直至计算出原式的值,在化简计算的过程中,注意利用结论lg2+lg5=1.,【解析】(1)原式= (2)原式=log5(57)-2(log57-log53)+log57-log5 =log55+log

5、57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2.,(3)原式=lg (2lg +lg5)+ =lg (lg2+lg5)+1-lg =lg +1-lg =1.,【方法总结】底数相同的对数式的化简和求值的原则与方法 (1)基本原则:对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.,(2)两种常用方法:“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).,【巩固训练】化简:(1)4lg2+3lg5- (2)(2017邢台高一检测)2log32-,【解析】(1)4lg2+3lg5-lg = =lg104=4. (2)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =5log32-(5log32-2log33)-3=-1.,类型二 换底公式及应用 【典例2】(2017兰州高一检测)已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456. 【解题指南】解答本题可先用换底公式将log1456化为以3为底的对数

6、,然后结合已知条件及对数的运算性质即可表示出log1456.,【解析】因为2b=3,所以b=log23,即log32=,【延伸探究】 1.本例条件不变,试用a,b表示log2898. 【解析】,2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢? 【解析】因为3b=2,所以b=log32,又因为a=log37, 所以log1456=,【方法总结】利用换底公式化简与求值的思路,【补偿训练】1.化简. (1) .(2)(log43+log83)(log32+log92). 【解析】(1) (2)原式=,2.(2017金华高一检测)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645的值. 【解析】方法一:因为log189=a,18b=5,所以log185=b. 于是log3645=,方法二:因为log189=a,18b=5,所以log185=b. 于是log3645= 方法三:因为log189=a,18b=5,所以lg9=alg18, lg5=blg18. 所以log3645=,类型三 对数的综合应用 【典例3】抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空

7、气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg20.3010) 【解题指南】根据题中的已知条件建立不等式,然后利用对数来求解.,【解析】设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,设原先容器中的空气体积为a. 则a(1-60%)n 7.5. 故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.,【方法总结】解对数应用题的步骤,【巩固训练】在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev= (e为自然对数的底). (1)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s).,(2)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的多少倍时,火箭的最大速度可以达到8 km/s.(结果精确到个位,数据:e2.718;e454.598,ln31.099) 【解题指南】解答本题的关键是利用最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m满足的关系式求解.,【解析】(1)因为 所以v=2000ln320001.099=2198(m/s). 答:当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,火箭的最大速度为2198 m/s.,(2)因为 所以 =e4-154.598-154. 答:当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的54倍时,火箭的最大速度可以达到8km/s.,【补偿训练】一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的一半(结果保留1个有效数字). 【解题指南】由题目可知经过一年剩余的质量约是原来的84%,由此首先找到剩余量与年数的关系,再利用对数计算.,【解析】设最初的质量是1.经过x年,剩余量是y,则经过1年,剩余量是y=0.84; 经过2年,剩余量是y=0.842; 经过x年,剩余量是y=0.84x. 依题意得0.84x=0.5,用科学计算器计算:,x=log0.840.5= 3.984, 即约经过4年,该物质的剩余量是原来的一半.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算,加快计算速度. (2)利用结论logablogba=1, 化简求值更方便.,

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