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《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：1.3.1.2函数的最大值、最小值

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常见问题

1、第2课时函数的最大值、最小值,主题1 函数的最大值观察下列两个函数的图象,回答有关问题:,1.比较两个函数的图象,它们是否都有最高点? 提示:图中函数y=f(x)=-x2的图象上有一个最高点; 图中函数y=f(x)=-x的图象上没有最高点.,2.通过观察图你能发现什么? 提示:对任意xR,都有f(x)f(0).,结论:最大值的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对任意的xI,都有_. (2)存在x0I,使得_.那么,称M是函数y=f(x) 的最大值.,f(x)M,f(x0)=M,【微思考】 1.在最大值的定义中,实数M应满足什么条件? 提示:M是一个函数值,即存在一个元素x0I,使M=f(x0). 2.函数f(x)最大值的几何意义是什么? 提示:函数最大值的几何意义是对应图象最高点的纵坐标.,主题2 函数的最小值观察下列两个函数的图象,回答有关问题.,1.比较两个函数的图象,它们是否都有最低点? 提示:图中函数y=f(x)=x2的图象有一个最低点. 图中函数y=f(x)=x的图象没有最低点. 2.通过观察图你能发现什么? 提示:对任意xR都

2、有f(x)f(0).,结论:最小值的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对任意的xI,都有_; (2)存在x0I,使得_. 那么,称M是函数y=f(x)的最小值.,f(x)M,f(x0)=M,【微思考】 1.函数f(x)对于定义域内的任意元素都有f(x)M,则M是否是函数的最小值? 提示:不一定,若存在f(x0)=M,则是,否则不是.,2.若函数f(x)在区间a,b上是单调递增的,则函数f(x)的最大值是_;最小值是_. 提示:f(b) f(a),【预习自测】 1.函数y=2x+1在1,2上的最大值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.1 【解析】选C.因为y=2x+1为增函数,所以y=2x+1在1,2上递增,所以ymax=22+1=5.,2.函数f(x)=x2-4x+3,x1,4的最小值为 ( ) A.-1 B.0 C.3 D.-2 【解析】选A.因为f(x)在1,2上是减函数,在2,4上是增函数,所以f(x)的最小值为f(2)=-1.,3.函数f(x)= 则f(x)的最大值是_, 最小值是_. 【解析】当1x2时,82x+610, 当-1x

3、1时,6x+78, 所以f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10. 答案:10 6,4.函数f(x)在区间-2,5上的图象如图所示,则函数的最大值为_.,【解析】由题图可知,f(x)在x=5处取得最大值,故f(x)的最大值为f(5). 答案:f(5),5.函数f(x)=ax+1(a0)在区间1,3上的最大值为4,则a=_. 【解析】因为a0,所以函数f(x)=ax+1在区间1,3上是增函数,所以f(x)max=f(3)=3a+1=4,所以a=1. 答案:1,6.求函数f(x)=x+ 在1,2上的最大值、最小值.(仿照教材P31例4的解析过程),【解析】设1x10,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在1,2上是减函数,从而函数的最大值是f(1)=1+4=5,最小值是f(2)=2+2=4.,类型一利用单调性求函数的最值【典例1】已知函数f(x)= ,x3,5. (1)判断函数f(x)的单调性,并证明. (2)求函数f(x)的最大值和最小值.,【解题指南】(1)利用定义判断f(x)的单调性. (2)根据f(x)的单调性,求最大、最小值

4、.,【解析】(1)f(x)在3,5上是增函数,证明如下: 任取x1,x23,5且x10, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在3,5上为增函数. (2)由(1)知,f(x)在3,5上为增函数, 则f(x)min=f(3)= ,f(x)max=f(5)= .,【方法总结】求函数最值的三种方法 (1)观察法:对于简单的初等函数,如一次函数、二次函数、反比例函数,可以依据定义域求出值域,观察得出. (2)图象法:对于图象较容易画出的函数的最值问题,可借助于图象直观求出.,(3)单调性法:对于较复杂的函数,可利用单调性的判断方法,判断出函数的单调性,然后求最值. 提醒:利用单调性求最值时,一定要先确定函数的定义域.,【巩固训练】(2017济宁高一检测)求函数y= (-4x-2)的最大值和最小值. 【解题指南】先判断函数在-4,-2上的单调性,再求函数的最大、最小值.,【解析】设-4x1x2-2，因为f(x1)-f(x2)= 因为x1+10，x2+10，x1-x20，所以 0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)= 在-4，-2上单调递增. 所以ymax=f(

5、-2)=2，ymin=f(-4)= .,【补偿训练】1.函数的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选D.当x0时,2x+33;当01时,-x+54.综上可知,当x=1时,y有最大值4.,2.已知函数f(x)=x+ . (1)证明:f(x)在(1,+)内是增函数. (2)求f(x)在2,4上的最值.,【解析】(1)任取x1，x2(1，+)，并且x1x11，所以x1-x21，所以x1x2-10，故(x1-x2) 0，即f(x1)f(x2). 所以f(x)在(1，+)内是增函数.,(2)由(1)知f(x)在2，4上是增函数，所以当x2，4时，f(2)f(x)f(4). 所以f(x)在2，4上的最大值为，最小值为 .,类型二二次函数的最值问题【典例2】(2017阜阳高一检测)已知二次函数f(x)=x2-2x+3. (1)当x-2,3时,求f(x)的最值. (2)当xt,t+1时,求f(x)的最小值g(t).,【解题指南】(1)根据对称轴与区间的情况求解. (2)讨论对称轴与区间的关系求解.,【解析】f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,对称轴为x=1,开口向上. (1)f(x)在-2,1上递减,在1,3上递增, 所以f(x)min=f(1)=2,又因为f(-2)f(3), 所以f(x)max=f(-2)=11.,(2)当t1时,f(x)在t,t+1上递增, 所以g(t)=f(t)=t2-2t+3, 当t1t+1,即0t1时,g(t)=f(1)=2. 当t+11,即t0时,f(x)在t,t+1递减, 所以g(t)=f(t+1)=t2+2,综上可得g(t)=,【延伸探究】 1.本例中(2)条件若改为当xt,t+1时f(x)有最小值3,求t的值.,

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