《课时讲练通》2017-2018学年高中数学（人教a版）必修一配套课件：1.3.2奇偶性

1、1.3.2 奇 偶 性,主题1 偶函数 1.观察下列两个函数的图象,它们有什么共同特征?,提示:从图象上可以看出,它们的图象都是关于y轴成轴对称的.,2.上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填下表:,提示:,3.通过上面对应值表你发现了什么? 提示:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相等.,结论: 1.偶函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 _,那么函数f(x)就叫做偶函数.,f(-x)=f(x),2.偶函数的图象特征 偶函数的图象关于_对称;反过来,若一个函数的图 象关于_对称,则这个函数是偶函数.,y轴,y轴,【微思考】 1.对于函数f(x),若在定义域内有f(-1)=f(1)成立,能否说明函数f(x)是偶函数? 提示:不能.必须是在定义域内任意的x都有f(-x)=f(x)成立,才能说明函数f(x)是偶函数.,2.若对定义域内的任意x都有f(-x)-f(x)=0或 =1(f(x)0),则对应的函数是不是偶函数? 提示:根据偶函数的定义知,满足这两种对应关系的函数都是偶函数.,主题2 奇函数 1.观察下列两个函数图象,它们有什么共同特征,与偶函数的图象

2、特征相同吗?,提示:从图象上可以看出,它们的图象都是关于原点成中心对称的,与偶函数的图象特征是不同的.,2.上述特征能否用数量间的关系来体现?试着填下表:,提示:,3.通过上面对应值表你发现了什么? 提示:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数.,结论: 1.奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 _,那么函数f(x)就叫做奇函数. 2.奇函数的图象特征 奇函数的图象关于_对称;反过来,若一个函数的 图象关于_对称,则这个函数是奇函数.,f(-x)=-f(x),原点,原点,【微思考】 根据函数奇偶性的定义,函数具有奇偶性时对定义域有什么要求? 提示:因为在函数奇偶性的定义中,对任意的一个x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),所以-x也属于定义域.因此奇偶函数的定义域必须关于原点对称.,【预习自测】 1.下列函数是偶函数的是 ( ) A.y=2x2-3 B.y=x3 C.y=x2,x0,1 D.y=x 【解析】选A.对A项:f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x), 所以f(x)是偶函数,B项、D项都为奇函数,C项中定义域不

3、关于原点对称,函数不具有奇偶性.,2.下列函数为奇函数的是 ( ) A.y=|x| B.y=3-x C.y= D.y=-x2+14,【解析】选C.A,D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,C项中函数为奇函数.,3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( ),【解析】选B.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,由图象可知,只有B的图象关于y轴对称.,4.函数f(x)=|x|+1_偶函数.(填“是”或“不是”) 【解析】函数定义域为R,f(-x)=|-x|+1=f(x), 所以f(x)是偶函数. 答案:是,5.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-f(-3)=_. 【解析】函数y=f(x)为奇函数,故f(-x)=-f(x), 则f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1. 答案:1,6.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+x. (2)f(x)=x2+1.,【解析】(1)对于函数f(x)=x3+x,其定义域为R. 因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)3+(-x)= -(x3+x)=-f(x),所以,函数f(

4、x)=x3+x为奇函数. (2)对于函数f(x)=x2+1,其定义域为R.因为对定义域内的每一个x,都有f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x), 所以,函数f(x)=x2+1为偶函数.,类型一 函数奇偶性的判定 【典例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3+x5. (2)f(x)=|x+1|+|x-1|. (3)f(x)= (4)f(x)=,【解题指南】解答本题应先求出函数的定义域,根据定义域再确定是否需要判定f(-x)与f(x)的关系,最后再下结论判定函数的奇偶性.,【解析】(1)函数的定义域为R, 因为f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x), 所以f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域为R, 因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x). 所以f(x)为偶函数.,(3)函数f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+), 不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数. (4)函数f(x)的定义域为R, 当x0时,f(x)=x(x-2), -x0,f(-x)=-(-x)(-x+2) =x(2-x)=-f(x),

5、当x0,f(-x)=-x(-x-2)=x(x+2) =-f(x), 当x=0时,f(0)=0, 故有f(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数.,【方法总结】函数奇偶性的判断方法 (1)确定函数的定义域. (2)看定义域是否关于原点对称, 不对称,则为非奇非偶函数;,【拓展】函数奇偶性的运算 设函数f(x),g(x)的定义域分别为D1,D2,在他们的公共定义域上,则有,【巩固训练】判断下列函数的奇偶性.,【解析】(1)函数的定义域为0,+),不关于原点对称,故函数不具有奇偶性. (2)由 x2=1x=1. 所以f(x)=0,又定义域关于原点对称, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数.,(3)函数f(x)= 的定义域为-1,0)(0,1. 由|x+2|-2=x,所以f(x)= , 因为f(-x)= =-f(x),所以f(x)为奇函数.,【补偿训练】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|2x+1|-|2x-1|. (2)f(x)= (3)f(x)=,【解析】(1)奇函数.f(x)的定义域为实数集R, 且f(-x)=|-2x+1|-|-2x-1|=|2x-1|-|2x+1|=-f(x)

6、, 所以f(x)为奇函数. (2)偶函数.f(x)的定义域为实数集R,当xQ时, -xQ,且f(-x)=1=f(x), 同理,x为无理数时,-x也为无理数, 且f(-x)=-1=f(x),所以f(x)为偶函数.,(3)奇函数.由题意知f(x)的定义域为x|x0, 当x0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x) =-f(x). 当x0时,-x0, 则f(-x)=(-x)2+(-x) =x2-x,=-(-x2+x) =-f(x), 故有f(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数.,类型二 奇偶函数的图象问题 【典例2】设奇函数f(x)的定义域为-5,5,若当x0,5时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解集为_.,【解题指南】根据函数的奇偶性,画出函数在区间 -5,0上的图象,根据图象写出不等式的解集.,【解析】由题意,函数f(x)在-5,0上的图象与在0,5上的图象关于原点对称,画出函数f(x)在-5,0上的图象,观察可得f(x)0的解集为(-2,0)(2,5. 答案:(-2,0)(2,5,【延伸探究】 1.本例条件不变,试比较f(-1)与f(-3)的大小. 【解析

7、】由图象可知,f(1)0,f(3)f(3), 又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3), 故f(-1)f(-3).,2.若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,则结果又是什么? 【解析】由于f(x)是偶函数,y轴右侧图象已知,结合偶函数图象关于y轴对称,作出y轴左侧图象,如图所示,由图象知,x-5,-2)时,f(x)0;x(2,5时,f(x)0,所以f(x)0的x的取值集合为-5,-2)(2,5.,【方法总结】巧用奇偶性作函数图象的三个步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在0,+)(或(-,0)上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在 (-,0(或0,+)上对应的函数图象.,【补偿训练】如图,给出了奇函数y=f(x)的局部图象,试求f(-2)的值.,【解析】由题干图可知,f(2)= ,又奇函数的图象关于原点对称,因此,f(-2)=-f(2)=- .,类型三 函数奇偶性定义的应用 【典例3】(1)函数f(x)=x3+ax,若f(1)=3,则f(-1)的值为_. (2)已知函数f(x)=(x-1)(x-a)为偶函数,求

8、实数a的值.,【解题指南】(1)先判断函数的奇偶性,再求值. (2)方法一:根据函数f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1),求a的值. 方法二:利用偶函数的定义求参数的值.,【解析】(1)因为f(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-3. 答案:-3,(2)方法一:因为函数f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1), 所以(-1-1)(-1-a)=(1-1)(1-a),所以a=-1. 方法二:因为函数f(x)为偶函数,f(-x)=f(x) 即(-x-1)(-x-a)=(x-1)(x-a),所以x2-(a+1)x+a= x2+(a+1)x+a, 所以2(a+1)x=0恒成立,所以a=-1.,【方法总结】利用奇偶性求参数的两种类型及解法 (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为a,b,根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式中含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解.,【巩固训练】(2017广州高一检测)已知函数f(x)= 是R上的奇函数. (1)求a的值. (2)利用定义证明该函数在1,+)上的单调性.,【解析】(1)因为f(x)= 为奇函数, 所以f(-x)=-f(x),即 所以-x+a=-x-a, 得a=0.,(2)由(1)知,f(x)= 任取x1,x21,+),且x1x2, f(x1)-f(x2)=,因为1x10, x1x21,x1x2-10, 所以f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2), 所以f(x)在1,+)上是减函数.,【补偿训练】已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x)= ,求常数m,n的值.,【解析】因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,由f(0)=0,得m=0,所以f(x)= 又f(-x)=-f(x), 即 ,整理得n=0.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 函数奇偶性的几个结论 (1)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0,有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)若函数f(x)是偶函数,则f(x)=f(|x|)=f(-x)= f(-|x|).,

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