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2020版数学(理)人教a版新设计大一轮课件:第三章 第1节 变化率与导数、导数的计算

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  • 卖家[上传人]:小**
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    • 1、,第1节 变化率与导数、导数的计算,知 识 梳 理,1.函数yf(x)在xx0处的导数,(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0,f(x0)处的切线的_.相应地,切线方程为_.,斜率,yy0f(x0)(xx0),2.函数yf(x)的导函数,0,3.基本初等函数的导数公式,x1,cos x,sin x,ex,axln a,4.导数的运算法则,若f(x),g(x)存在,则有: (1)f(x)g(x)_; (2)f(x)g(x) _ ;,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),5.复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux.,微点提醒,1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值;(f(x0)是函数值f(x0)的导数,且(f(x0)0.,3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,

      2、曲线在这点处的切线越“陡”.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.( ) (3)求f(x0)时,可先求f(x0),再求f(x0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ),解析 (1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率,(1)错. (2)f(x)sin(x)sin x,则f(x)cos x,(2)错. (3)求f(x0)时,应先求f(x),再代入求值,(3)错. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修22P19B2改编)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A.9 B.3 C.9 D.15 解析 因为yx311,所以y3x2,所以y|x13,所以曲线yx311在点P(1,12)处的切线方程为y123(x1).令x0,得y9. 答案 C,3.(选修22P3例题改编)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)4.9t26.5t10,则运动员的速度v

      3、_ m/s,加速度a_ m/s2. 解析 vh(t)9.8t6.5,av(t)9.8. 答案 9.8t6.5 9.8,4.(2019保定质检)已知函数f(x)x(2 018ln x),若f(x0)2 019,则x0等于( ) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e,由f(x0)2 019,得2 019ln x02 019,则ln x00,解得x01. 答案 B,5.(2018天津卷)已知函数f(x)exln x,f(x)为f(x)的导函数,则f(1)的值为_.,答案 e,所以f(1)211, 所以在(1,2)处的切线方程为y21(x1), 即yx1. 答案 yx1,考点一 导数的运算 多维探究 角度1 根据求导法则求函数的导数,【例11】 分别求下列函数的导数:,(1)yexln x;,角度2 抽象函数的导数计算,A.e B.2 C.2 D.e,答案 B,规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导. 2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元. 3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.,(2)已知f(x)x

      4、22xf(1),则f(0)_.,(2)f(x)2x2f(1), f(1)22f(1),即f(1)2. f(x)2x4,f(0)4.,考点二 导数的几何意义 多维探究 角度1 求切线方程,【例21】 (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y2x B.yx C.y2x D.yx 解析 因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数,所以a10,则a1,所以f(x)x3x,所以f(x)3x21,所以f(0)1,所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx. 答案 D,角度2 求切点坐标,(2)函数yex的导函数为yex, 曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.,答案 (1)A (2)(1,1),角度3 求参数的值或取值范围 【例23】 (1)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线,则实数a的取值范围是( ) A.(,2 B.(,2) C.(2,) D.(0,),解析 (1)由题意知f(x)2在(0,)上有解.,又f(1)1ab,曲线在(1,f(1)处的切线方程为y(

      5、1ab)(1a)(x1),即y(1a)x2ab,,ab178. 答案 (1)B (2)8,规律方法 1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:切点处的导数是切线的斜率;切点在切线上;切点在曲线上.,【训练2】 (1)(2018东莞二调)设函数f(x)x3ax2,若曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为xy0,则点P的坐标为( ) A.(0,0) B.(1,1) C.(1,1) D.(1,1)或(1,1) (2)(2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_.,解析 (1)由f(x)x3ax2,得f(x)3x22ax. 根据题意可得f(x0)1,f(x0)x0,,当x01时,f(x0)1, 当x01时,f(x0)1. 点P的坐标为(1,1)或(1,1).,答案 (1)D (2)y2x,思维升华 1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导. 2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是切点,则需设出切点. 3.处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.,易错防范,2.求切线方程时,把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.,

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