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2020版数学浙江专用版新设计大一轮课件：第四章导数及其应用第2节 word版含解析

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常见问题

1、考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.,第2节导数与函数的单调性,知识梳理,1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导， (1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_； (2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_.,单调递增,单调递减,2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)由f(x)0(或0)解出相应的x的取值范围.当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间.,3.已知单调性求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)； (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此

2、参数值.,常用结论与易错提醒 (1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数. (2)有些初等函数(如f(x)x3x)的单调性问题也不必用导数. (3)根据单调性求参数常用导数不等式f(x)0或f(x)0求解，注意检验等号. (4)注意函数、导函数的定义域.,基础自测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)若可导函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.( ) 解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0. (3)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案 (1) (2) (3),2.函数f(x)exx的单调递增区间是( ) A.(，1 B.1，) C.(，0 D.(0，) 解析令f(x)ex10得x0，所以f(x)的递增区间为(0，). 答案 D,3.函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是( ),解析利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0的解集对

3、应yf(x)的增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D选项符合. 答案 D,4.(2019镇海中学月考)函数f(x)xln x的单调减区间为_.,答案 (0，1),即f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递增， f(a)f(b). 答案 f(a)f(b),答案 (1，) (，0)和(0，1),令f(x)0，解得x0，x1或x4. 当x0，故f(x)为增函数；当10时，f(x)0，故f(x)为增函数. 综上知，f(x)在(，4)和(1，0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数.,规律方法确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f(x)； (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.,答案 (1)B (2)C,(2)函数f(x)的定义域为(0，).,当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增. 当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1).,f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.,所以 x(0，x

4、1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减； x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增； x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减. 综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；,规律方法利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.,【训练2】 (1)已知函数f(x)axln x(a0)，则f(x)的单调递增区间是_；单调递减区间是_.,解析由已知得f(x)的定义域为(0，).,(2)已知a为实数，函数f(x)x22aln x.求函数f(x)的单调区间. 解 f(x)x22aln x， f(x)的定义域为(0，)，,当a0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数；,考点三利用函数的单调性求参数,规律方法利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 (1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f(x)0(0(0)成立”. (2)函数f(x)在区间D上递增(减). 方法一：转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.,解析 (1)f(x)x2ax2，由已知得2，1是f(x)的两个零点，,b(x1)21在1，)上恒成立，b1. 答案 (1)3 (2)(，1,

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