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2020版数学浙江专用版新设计大一轮课件:第三章 函数的概念与基本初等函数ⅰ 第4节

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    • 1、考试要求 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数的周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.,第4节 函数的奇偶性与周期性,知 识 梳 理,1.函数的奇偶性,f(x)f(x),y轴,f(x)f(x),原点,2.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数yf(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有_,那么就称函数yf(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的_正周期.,f(xT)f(x),存在一个最小,最小,常用结论与易错提醒 1.函数奇偶性的三个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)f(|x|). (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.,基 础 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数yx2在x(0,)时是偶函数.(

      2、) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)0.( ) (3)若函数yf(xa)是偶函数,则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.( ) (4)若函数yf(xb)是奇函数,则函数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( ),解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故yx2在(0,)上不是偶函数,(1)错. (2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x0处有意义时才满足f(0)0,(2)错. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 B,3.(2019金华十校调研)下列函数中,是偶函数且在(0,)上为增函数的是( ) A.ycos x B.y1x2 C.ylog2|x| D.yexex 解析 ycos x是偶函数,在(0,)上不具有单调性,所以选项A错误;y1x2是偶函数,在(0,)上是减函数,所以选项B错误;ylog2|x|是偶函数,在(0,)上是增函数,所以选项C正确;令f(x)exex,则f(x)exex(exex) f(x),所以yexex是奇函数,所以选项D错误,故选C. 答案 C,4.若函数yf(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 020)f(

      3、2 019)( ) A.2 020 B.0 C.1 D.2 020 解析 因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(1)f(1)f(1),所以f(1)0,且f(0)0,而f(2 020)f(21 0100)f(0)0,f(2 019)f(21 0091)f(1)0,故选B. 答案 B,5.偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称,f(3)3,则f(1)_. 解析 f(x)为偶函数,f(1)f(1). 又f(x)的图象关于直线x2对称, f(1)f(3).f(1)3. 答案 3,因此f(x)f(x)且f(x)f(x), 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,函数f(x)为奇函数.,(3)显然函数f(x)的定义域为(,0)(0,),关于原点对称. 当x0, 则f(x)(x)2xx2xf(x); 当x0时,x0, 则f(x)(x)2xx2xf(x); 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(x)f(x)成立, 函数f(x)为奇函数.,规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域; (2)判断f(x)

      4、与f(x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,【训练1】 (1)(2019杭州质检)设函数f(x)b(a0且a1),则函数f(x)的奇偶性( ) A.与a无关,且与b无关 B.与a有关,且与b有关 C.与a有关,但与b无关 D.与a无关,但与b有关 (2)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数,(2)依题意得对任意xR,都有f(x)f(x),g(x)g(x),因此,f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x),f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B错;f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|是奇函数,C正确;|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)

      5、g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错. 答案 (1)D (2)C,解析 (1)法一 令x0,则x0. f(x)2x3x2. 函数f(x)是定义在R上的奇函数, f(x)f(x).f(x)2x3x2(x0).f(2)2232212. 法二 f(2)f(2) 2(2)3(2)212.,则ln(ax2x2)0,a1. 答案 (1)12 (2)1,规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住在已知区间上的解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式或函数值.,解析 (1)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(1)g(1)f(1)g(1)(1)3(1)211.,答案 (1)C (2)A,考点三 函数的周期性及其应用 【例3】 设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x0,2)时,f(x)2xx2,则f(

      6、0)f(1)f(2)f(2 019)_. 解析 f(x2)f(x),函数f(x)的周期T2. 又当x0,2)时,f(x)2xx2, f(0)0,f(1)1,f(0)f(1)1. f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 018)f(2 019)1, f(0)f(1)f(2)f(2 019)1 010. 答案 1 010,规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间. (2)若f(xa)f(x)(a是常数,且a0),则2a为函数f(x)的一个周期.,f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5). 22.53,由题意,得f(2.5)2.5. f(105.5)2.5.,解析 (1)法一 f(x)是定义域为(,)的奇函数,f(x)f(x),且f(0)0,f(1x)f(1x),f(x)f(2x),f(x)f(2x),f(2x)f(x),f(4x)f(2x)f(x),f(x)是周期函数,且一个周期为4,f(4)f(0)0,f(2)f(11)f(11)f(0)0,f(3)f(12)f(12)f(1)2,f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2,故选C.,答案 (1)C (2)C,规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,解析 (1)由题意,g(x)是定义在R上的奇函数, g(x)g(x). 由g(x)f(x1),得g(x)f(x1),f(x1)f(x1). 由f(x)是定义在R上的偶函数,则f(x)f(x), f(x1)f(x1)f(x1), f(x1)f(x1),即f(x1)f(x1)0. f(2 017)f(2 019)f(2 0181)f(2 0181)0.,g(x)为奇函数, 由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0, 故Mm2. 答案 (1)C (2)2,

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