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中考数学专题复习：直线与圆的位置关系

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1、直线与圆的位置关系,中考数学专题复习,第29讲考点聚焦,考点1 直线和圆的位置关系,dr,d=r,dr,第29讲考点聚焦,考点2 圆的切线,垂直于,切点,圆心,唯一,半径,垂直于,考点3切线长及切线长定理,第29讲考点聚焦,相等,平分,考点4 三角形的内切圆,第29讲考点聚焦,三条角平分线,距离,第29讲考点聚焦,例1 已知O的半径为2，直线l上有一点P满足PO2，则直线l与O的位置关系是( ) A相切 B相离 C相离或相切 D相切或相交,第29讲归类示例, 类型之一直线和圆的位置关系的判定,命题角度： 1. 定义法判定直线和圆的位置关系； 2. d、r比较法判定直线和圆的位置关系,D,第29讲归类示例,解析分OP垂直于直线l，OP不垂于直线l两种情况讨论当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2r，O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2r，O与直线l相交故直线l与O的位置关系是相切或相交,第29讲归类示例,在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题

2、目的已知条件选择正确的方法,方法解析, 类型之二圆的切线的性质,命题角度： 1. 已知圆的切线得出结论； 2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明,第29讲归类示例,例2 如图291，已知点E在直角ABC的斜边AB上，以AE为直径的O与直角边BC相切于点D. (1)求证：AD平分BAC； (2)若BE2，BD4，求O的半径,图291,第29讲归类示例,解析 (1)先连接OD，则ODBC，且ACBC，再由平行从而得证； (2)设圆的半径为R，在RtBOD中利用勾股定理即可求出半径,解：(1)证明：连接OD， BC与O相切于点D，ODBC. 又C90，ODAC， ODADAC.而ODOA， ODAOAD，OADDAC，即AD平分BAC. (2)设圆的半径为R，在RtBOD中，BO2 BD2 OD2， BE2，BD4, (BEOE)2 BD2 OD2，即(2R)242R2，解得R3，故O的半径为3.,第29讲归类示例,“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法,第29讲归类示例,方法解析, 类型之三圆的切线的判

3、定方法,例3 如图292，点A、B、C分别是O上的点，B60，AC3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且APAC. (1)求证：AP是O的切线； (2)求PD的长,第29讲归类示例,命题角度： 1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线； 2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线,图292,第29讲归类示例,解析 (1)首先连接OA，利用圆周角定理，即可求得AOC的度数，利用等边对等角求得PAO90，则可证得AP是O的切线； (2)由CD是O的直径，即可得DAC90，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长,第29讲归类示例,第29讲归类示例,变式题已知：如图293，在ABC中，BCAC，以BC为直径的O与边AB相交于点D，DEAC，垂足为点E. (1)求证：点D是AB的中点； (2)判断DE与O的位置关系，并证明你的结论,图293,第29讲归类示例,解析 (1)连接CD，利用等腰三角形底边上的高也是底边上中线证明,解：(1)证明：连接CD，因为BC为O的直径，则CDAB.AC BC，AD

4、BD，即点D是AB的中点 (2)DE是O的切线 . 证明：连接OD, 则DO是ABC的中位线，DOAC.又DEAC， DEDO，即DE是O的切线,在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径,第29讲归类示例,方法解析, 类型之四切线长定理的运用,命题角度： 1. 利用切线长定理计算； 2. 利用切线长定理证明,第29讲归类示例,例4 如图294，PA、PB分别切O于A、B两点，连接PO、AB相交于D，C是O上一点，C60. (1)求APB的大小； (2)若PO20 cm，求AOB的面积,图294,解析 (1)由切线的性质，即可得OAPA，OBPB，又由圆周角定理，求得AOB的度数，继而求得APB的大小； (2)由切线长定理，可求得APO的度数，继而求得AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长,第29讲归类示例,第29讲归类示例,(1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连,第29讲归类示例,方法解析, 类型之五三角形的内切圆,命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径,第29讲归类示例,例5 如图295，RtABC的内切圆O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为( ),图295,C,第29讲归类示例,解析连接OD、OE，则ODBDBEOEB90，推出四边形ODBE是正方形，得出BDBEODOEr.根据切线长定理得出MPDM，NPNE, RtMBN的周长为：MBNBMNMBBNNEDMBDBErr2r，故选C.,解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决,第29讲归类示例,方法解析,

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