2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二),正弦函数、余弦函数的图象和性质,-1,1,-1,1,2k-，2k,2k，,2k+,2k,2k+,【点拨】(1)正弦、余弦函数的单调性 理解正弦函数、余弦函数的单调性,通常作函数 y=sinx,x 、y=cosx,x-,的简图. 单调区间要在定义域内求解. 确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性 时,要注意用复合函数法来判断.,(2)理解正弦函数、余弦函数最值的三个关注点 有界性:明确正弦、余弦函数的有界性,即|sin x| 1,|cos x|1. 定义域:对有些函数,其最值不一定就是1或-1,要结合函数的定义域来决定.,整体代换:形如y=Asin(x+)(A0,0)的函数求 最值时,通常利用“整体代换”,即令x+=Z,将函数 转化为y=sinZ的形式求最值. 提醒:对于求形如y=Asinx+b(或y=Acosx+b)的函数的 最值或值域问题,常利用正、余弦函数的有界性(-1 sinx1,-1cosx1)求解.,【自我检测】 1.在下列区间中,使函数y=sinx为增函数的是 ( ) A.0, B. C. D.,2,【解析】选C.由正弦曲线

2、知y=sinx在 上是增函数.,2.使y=sinx和y=cosx均为减函数的一个区间是 ( ),【解析】选B.由y=sinx,x0,2与y=cosx, x0,2的图象知: y=sinx和y=cosx均为减函数的一个区间是 .,3.函数y=2-sinx取得最大值时x的值为_. 【解析】因为y=2-sinx,所以当sinx=-1时,ymax=3, 此时x=2k- (kZ). 答案:2k- (kZ),4.若cosx=2m-1有意义,则m的取值范围是_. 【解析】由于-1cosx1,即-12m-11, 解得:0m1. 答案:0,1,5.函数y=cos 的单调减区间是_. 【解析】由2k 2k+(kZ)可得: 2k+ x2k+ (kZ), 即函数的单调减区间为2k+ x2k+ (kZ). 答案: (kZ),类型一 正弦函数、余弦函数的单调性 【典例】1.函数y=cosx在区间-,a上为增函数,则a的取值范围是_. 2.(2018淮安高一检测)已知函数f(x)= 求函数f(x)的单调递增区间.,【审题路线图】1.确定a的范围y=cosx在区间-,a 上为增函数y=cosx在区间-,0上是增函数,在

3、区 间0,上是减函数a的范围. 2.确定增区间令u= +2xy= sinu的单调递增区 间.,【解析】1.因为y=cosx在-,0上是增函数,在0,上是减函数, 所以只有-a0时满足条件,故a(-,0. 答案:(-,0,2.令u= +2x,函数y= sinu的单调递增区间为 kZ,由- +2k +2x +2k,kZ 得 所以函数f(x)= 的单调递增区间是 ,kZ.,【延伸探究】 1.将本例2中函数改为“f(x)= ”,结果又如何?,【解析】f(x)= ,令t= 2x- ,函数y=cost的单调递增区间为-+2k,2k, kZ. 由-+2k2x- 2k,kZ,得 kZ.,所以函数f(x)= 的单调递增区间为 ,kZ.,2.将本例2中函数改为“y=log3sin ”,求其单调递减区间.,【解析】为使函数解析式有意义,须有sin 0. 因为函数y=log3x在(0,+)上为增函数, 所以原函数的单调递减区间就是y=sin 的递减 区间,且要满足sin 0.,由 +2k2x+ +2k,kZ, 得 +kx +k,kZ, 所以函数y=log3sin 的单调递减区间为 ,kZ.,【方法技巧】求解与

4、正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧 (1)数形结合:结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.,(2)整体代换:确定函数y=Asin(x+)(A0,0)的单调区间的方法,采用“换元法”整体代换,将x+看作一个整体,可令“Z=x+”,即通过求y=AsinZ的单调区间而求出函数的单调区间.若0,则可利用诱导公式将x的系数转变为正数.,提醒:求函数y=Asin(x+)的单调区间时,把x+看作一个整体,借助y=sinx的单调区间来解决.当A0或0时,要注意原函数的单调性与y=sinx的单调性的关系.,【补偿训练】1.求函数y=2sin 的单调增区间. 【解析】y=2sin =-2sin ,令z=x- ,则 y=-2sinz,求y=-2sinz的增区间,即取sinz的减区间,所 以 +2kz +2k(kZ),即 +2kx- +2k(kZ), 即 (kZ), 所以y=2sin 的单调增区间是,2.函数y=- cosx,x(0,2)的单调性是 ( ) A.在(0,)上是增函数,在,2)上是减函数 B.在 上是增函数,在 上是减函数 C.在,2)上是增函数,在(0,)上是减函数 D.在 上是增

5、函数,在 上是减函数,【解析】选A.y=- cosx在(0,)上是增函数,在,2)上是减函数.,类型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 【典例】1.(2018洛阳高一检测)已知,为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是 ( ) A.sincos,2.比较下列各组数的大小: (1) (2)cos1,sin1.,【审题路线图】1.比较大小y=cosx的单调性,的大小关系,为锐角 2.比较大小诱导公式函数的单调性.,【解析】1.选B.,为锐角三角形的两个内角, 所以coscos =sin.,2.(1) 因为0 ,而y=cosx在0,)上单调递减, 所以 (2)因为cos1=sin ,而0 -11 且y=sinx在 上单调递增,所以sin sin1,即cos1sin1.,【方法技巧】三角函数值大小比较的策略 (1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转 化到 内;对于余弦函数来说,一般将两 个角转化到-,0或0,内. (2)不同名的函数化为同名的函数.,(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.,【拓展延伸】进行三角函数值的大小比较

6、的思路以及关键点 思路:先判断三角函数值的正负,若同号,再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较. 关键点:将两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值.,【变式训练】cos1,cos2,cos3的大小关系是_ (用“”连接) 【解析】由于0cos2cos3. 答案:cos1cos2cos3,类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题 【典例】1.y=sinx,x 的值域为_. 2.(2018临汾高一检测)设f(x)=acosx+b的最大值是 1,最小值是-3,求g(x)=bsin 的最大值.,【审题路线图】1.求值域y=sinx的单调性在 上增,在 上减最值. 2.求g(x)=bsin 的最大值确定出a,b的值f(x)=acosx+b的最值分a0和a0.,【解析】1.y=sinx在 上为增函数,在 上为 减函数,x=- 时,y=sinx有最小值- ,x= 时, y=sinx有最大值1,所以值域为 . 答案:,2.由题意,a0,当a0时, 此时g(x)=-sin ,其最大值为1. 当a0时, 此时g(x)=-sin ,其最大值为1. 综上知,g(x)的最大值为

7、1.,【延伸探究】本例1中的函数y=sinx改为y=sin2x- 3sinx+1,x 的值域如何求?,【解析】由本例1知,x 时,sinx , 设t=sinx,则y=t2-3t+1,t 而y=t2-3t+1在 上单调递减, 所以值域为,【方法技巧】求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数y=Asin(x+)+k或y= Acos(x+)+k的最大值为|A|+k,最小值为-|A|+k(其中A,k为常数,A0,0).,(2)可化为y=Asin2x+Bsinx+C或y=Acos2x+Bcosx+C (A0)的最大、最小值可利用二次函数在区间-1,1上的最大、最小值的求法来求.(换元法),【拓展延伸】求三角函数值域或最值的类型以及应注意的问题 (1)三角函数的值域问题一般有两类:第一种类型可化为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,此种类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;第二种类型是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.,(2)在求解值域或最值时都要注意定义域优先的原则,在定义域内求值域或最值.,【变式

8、训练】求下列函数的值域: (1)y=3-2cos2x,xR. (2)y=cos2x+2sinx-2,xR.,【解析】(1)因为-1cos2x1, 所以-2-2cos2x2. 所以13-2cos2x5,即1y5. 所以函数y=3-2cos2x,xR的值域为1,5.,(2)y=cos2x+2sinx-2 =-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2. 因为-1sinx1,所以-4y0, 所以函数y=cos2x+2sinx-2,xR的值域为-4,0.,【补偿训练】已知函数y=2asin +b的定义域 为 ,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.,【解析】因为 所以 所以 若a0,则 解得,若a0，则 解得,【核心素养培优区】 【易错案例】求函数单调区间的问题 【典例】函数y=log2sin 的单调递增区间为 .,【失误案例】令u=sin ,因为21, 所以只需要求u=sin 的单调递增区间即可. 于是- +2kx+ +2k(kZ), 即- +2kx +2k(kZ), 所以单调递增区间为 (kZ).,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因在于忘记考虑定义域.应先求出函数的定义域,单调区间是定义域的子集.,【自我纠正】令u=sin , 由题意,得sin 0, 所以2kx+ +2k,kZ, 解得- +2kx +2k,kZ.,因为21,求得u=sin 的单调递增区间为 (kZ), 所以函数y=log2sin 的单调递增区间为 答案:,

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