2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.6三角函数模型的简单应用

1、1.6 三角函数模型的简单应用,三角函数的应用 (1)根据实际问题的图象求出函数解析式. (2)将实际问题抽象为与_有关的简单函数模型. (3)利用搜集的数据作出_,并根据_进行函 数拟合,从而得到函数模型.,三角函数,散点图,散点图,【点拨】(1)三角函数应用题的三种模式 给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题; 给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数模型,再解决其他问题;,整理一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数模型,进一步用函数模型来解决问题.,(2)三角函数在生产、生活中的应用 现实生产、生活中,周期现象广泛存在,在解决实际问题时要注意搜集数据,作出相应的“散点图”,通过观察散点图,进行函数拟合,获得具体的函数模型;,应用数学知识解决实际问题时,应该注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要用相关学科知识来帮助理解问题; 在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件.,【自我检测】 1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin(160t)+115.其中f(t)为血压(单位:

2、 mmHg),t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数为 ( ) A.60 B.70 C.80 D.90,【解析】选C.由题意可得频率f= = =80(次/分), 所以此人每分钟心跳的次数是80.,2.做简谐运动的物体,其位移随时间的变化规律为 y=2sin(50t+ )cm,则它的周期为_s. 【解析】T= =0.04. 答案:0.04,3.如图为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要 _s往复一次.,【解析】由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8s往复一次. 答案:0.8,4.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I= 5sin ,则当t= s时,电流强度I为_ _A.,5.如图所示的图象显示的是相对于平均海 平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h 内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0 时开始的时间x的函数关系式为_.,类型一 三角函数图象与解析式的对应关系 【典例】1.(2018襄阳高一检测)函数y=x+sin|x|, x-,的大致图象是 ( ),2.(2018厦门高一检测)如图是周期为2的三角函数y=f(x)的图象,那么f(x)= ( )

3、,A.sin(1+x) B.sin(-1-x) C.sin(1-x) D.sin(-1+x),【审题路线图】1.判断图象函数奇偶性. 2.解析式关键点(1,0)特殊区间函数值的正负. 【解析】1.选C.y=x+sin|x|,x-,既不是奇函数也不是偶函数,故选C. 2.选C.图象过点(1,0),排除A,B;对于D当x(0,1)时,f(x)0,故选C.,【方法技巧】解决函数图象与解析式对应问题的策略 (1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决,如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域,此外零点也可以作为判断的依据.,(2)利用图象确定函数y=Asin(x+)的解析式,实质就是确定其中的参数A,.其中A由最值确定;由周期确定,而周期由特殊点求得;由点在图象上求得,确定时,注意它的不唯一性,一般要求|中最小的.,【变式训练】(2018长春高一检测)函数f(x)= x-,的大致图象是如图中的 ( ),【补偿训练】函数y=ln(cosx) 的大致图 象是 ( ),【解析】选A.y=ln(cosx) 是偶函数,可排 除B,D,又cosx1,所以y=ln(cosx)ln1=0,所以函数 的

4、图象不能在x轴上方,排除C.,类型二 三角函数在物理学中的应用 【典例】电流强度I与时间t的关系式为I=Asin(t+) (A0,0).,(1)在一个周期内I=Asin(t+)的图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(t+)(t0)的解析式.,(2)为了使I=Asin(t+)(A0,0)中t在任意一段 秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小 值-A,那么正整数的最小值是多少?,【审题路线图】解析式图象周期、振幅与x轴的交点,图象的最高点、最低点.,【延伸探究】 1.在本例(1)中其他条件不变的情况下,当t=10秒时的电流强度I应为多少?,【解析】求解析式过程同本例(1)解析,将t=10秒代入 I=300sin (t0),可得:I=150 (安培).,2.在本例(1)中条件不变的情况下,当I=150安培时,需要经过多长时间?(t0),【方法技巧】处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.,【补偿训练】单摆从某点开

5、始来回摆动,离开平衡位置 的距离s(cm)和时间t(s)的关系式为s= (1)作出它的图象. (2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米? (3)单摆摆到最右边时,离开平衡位置多少厘米? (4)单摆来回摆动一次需多长时间?,【解析】(1)列表如下:,描点作图:,(2)t=0时,s=3cm,此时离开平衡位置3厘米. (3)离开平衡位置6厘米. (4)因为T= =1, 所以来回摆动一次所需的时间为1秒.,类型三 三角函数在实际生活中的应用 【典例】1.(2018青岛高一检测)甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动,已知甲的速度是乙的速度的两倍,乙绕水池一周停止运动,若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数,l表示甲、乙两人的直线距离,则l=f()的大致图象是 ( ),2.(2018沧州高一检测)如图所示:,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径为40米,如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题: (1)求出你与地面的距离y(米)与

6、时间t(分钟)的函数关系式. (2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长时间?,【审题路线图】1.判定图象特殊角,当=排除选项直线距离不可能为负确定选项. 2.(1)函数关系式选用函数模型周期最值. (2)时间函数解析式转圈第一次结合周期,高度.,【解析】1.选B.由题意知,=时,两人相遇,排除A,C;两人的直线距离不可能为负,排除D.,2.(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式,由已知 可设y=40.5-40cost,t0,由周期为12分钟可知当 t=6时,摩天轮第1次到达最高点,即此函数第1次取得最 大值,所以6=,即= .所以y=40.5-40cos t (t0).,【方法技巧】解三角函数应用问题的基本步骤,【拓展延伸】建立函数模型解决实际问题的基本思路 (1)寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型. (2)搜集数据,建立三角函数解析式并解题. (3)将结果翻译成实际答案,要注意根据实际作答.,【变式训练】(2018成都高一检测)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0t24,记y=f(t),下表是某日各时的海浪高度数据:,经长期观测,

7、y=f(t)的图象可近似地看成是函数 y=Acost+b的图象. (1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式. (2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开 放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间, 有多少时间可供冲浪者进行活动?,【核心素养培优区】 【易错案例】 三角函数模型问题 【典例】弹簧振子以点O为平衡位置,在B,C两点间做简 谐运动,B,C两点相距20cm,某时刻振子处在B点,经0.5 秒振子首次到达C点,则振子在5秒内通过的路程为 _.,100cm,【失误案例】因为B,C相距20cm,所以振幅A=20cm,又因为振子从B点经过0.5秒首次到达C点,所以周期T=0.5s,5秒内通过的路程为5A=100cm.,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的原因在于没弄清楚B,C相距20cm应为振幅的2倍,即2A=20cm,周期T的求解错误.,【自我纠正】设振幅为A,则2A=20cm,A=10cm. 设周期为T,则 =0.5,T=1s,振子在1个周期内通过的 距离为4A,故在t=5s=5T内,距离为s=54A=20A=20 10=200(cm)=2(m). 答案:2m,

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