2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一),1.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个_, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有_. 这个函数的周期为_.,非零常数T,f(x+T)=f(x),T,(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存 在一个最小的_,那么这个最小_就叫做f(x)的 _.,正数,正数,最小正周期,2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性,2,2,奇函数,偶函数,【点拨】(1)对函数最小正周期的理解 最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y=sin2x的最小正周期是,因为y=sin(2x+2)=sin2(x+),即是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数,是对x而言的,而非2x.,并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数函数f(x)=C,任一个正实数都是它的周期,因而不存在最小正周期.,(2)正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称. 正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形. 提醒:诱导公

2、式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式.,【自我检测】 1.函数y=2sin 是 ( ) A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为2的奇函数 D.周期为2的偶函数,【解析】选B.因为y=2sin =2cos2x,所以函数y是偶函数,周期为.,2.函数y=sin|x|的图象是 ( ),【解析】选B.y=sin|x|= 作出y=sin|x|的简图知选B.,3.函数y=3sinx+5的最小正周期是_. 【解析】设f(x)=3sinx+5,对任意xR. f(x+2)=3sin(x+2)+5=3sinx+5=f(x), 所以y=3sinx+5的最小正周期是2. 答案:2,4.若函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则f(5)= _. 【解析】因为函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则 f(5)=f(3+2)=f(3)=6. 答案:6,5.根据函数奇偶性的定义判断函数y=lgcosx是_函数.(填写奇或偶),【解析】因为cosx0,即2k- x2k+ ,kZ, 所以定义域关于原点对称,又cos(-x)=cosx,所以 lgcos(-x)=lgcosx,即y=lgcosx是

3、偶函数. 答案:偶,类型一 三角函数的周期问题 【典例】1.(2018大同高一检测)下列函数是以为周期的函数是 ( ) A.y=sinx B. y=sinx+2 C.y=cos2x+2 D.y=cos3x-1,2.求下列函数的周期:(1)y=sin . (2)y=|sinx|.,【审题路线图】1.确定周期y=Asin(x+)T= . 2.(1)确定周期周期定义或T= . (2)确定周期y=|sinx|函数图象.,【解析】1.选C.A.y=sinx及B.y=sinx+2的周期为 2,C.y=cos2x+2的周期为,D.y=cos3x-1的周期 为 . 2.(1)方法一: 所以周期为. 方法二:,(2)作图如下: 观察图象可知周期为.,【延伸探究】 1.将本例2(2)中的y=|sinx|改为y=sin|x|是否还是周期函数?,【解析】作出函数y=sin|x|的图象,如图所示: 由图象知,不是周期函数.,2.将本例2(2)中的y=|sinx|改为y=|sinx+1|是否还是周期函数,周期为多少?,【解析】作出函数y=|sinx+1|的图象: 观察图象知,周期为2.,【方法技巧】求三角函数周期

4、的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解. (2)公式法,对形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+) (A,是常数,A0,0)的函数,T= .,(3)观察法,即通过观察函数图象求其周期. 三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选择适当的方法求解.,【补偿训练】求下列函数的周期,【解析】1.y=3cos 中= ,故T=4. 2.y=2cos 的周期为,y=sin 的周期也 为,故y=2cos +sin 的周期为.,类型二 三角函数奇偶性的判断 【典例】1.(2018沧州高一检测)函数f(x)= sin2x 的奇偶性为 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数,2.判断函数f(x)=sin 的奇偶性.,【审题路线图】1.奇偶性定义域是否关于原点对称f(-x)与f(x)的关系. 2.奇偶性定义域是否关于原点对称f(-x)与f(x)的关系.,【解析】1.选A. f(-x)= sin2(-x)=- sin2x =-f(x),所以函数f(x)为奇函数. 2.因为f(x)= 所以f(-x)= 所以函数f(x)=sin 为偶函数.,【方法技巧】判断函数奇偶性的

5、思路,提醒:判断函数奇偶性时,必须先判断定义域是否关于原点对称,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数必为非奇非偶函数.,【拓展延伸】判断函数奇偶性应把握好两个方面 一是看函数的定义域是否关于原点对称;二是看f(x)与f(-x)的关系.,【变式训练】判断f(x)=lg(sinx+ )的奇偶性. 【解题指南】运用函数奇偶性的定义,结合对数的运算性质化简并判断.,【解析】函数的定义域为R, 因为f(-x)=lgsin(-x)+ =lg(-sinx+ ) =lg(sinx+ )-1 =-lg(sinx+ )=-f(x), 所以函数f(x)=lg(sinx+ )为奇函数.,【补偿训练】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|sinx|+cosx. (2)y=f(x)=2cos x. (3)y=f(x)=,【解析】(1)函数的定义域为R, 又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),所以此函数是偶函数. (2)显然xR. 因为f(-x)=2cos (-x)=2cos x=f(x), 所以y=2co

6、s x为偶函数.,(3)因为sinx-10, 所以sinx=1,x=2k+ (kZ). 函数定义域不关于原点对称, 故y= 为非奇非偶函数.,类型三 三角函数周期性与奇偶性的综合应用 【典例】1.下列函数中周期为 ,且为偶函数的 是 ( ) A.y=sin4x B.y=cos x,2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为,且当x 时,f(x)=sinx, 则f 等于 ( ),【审题路线图】1.偶函数f(x)=f(-x)正余弦函数. 2.求f 偶函数,周期函数x ,f(x)=sinx.,【解析】1.选C.显然周期为 的有A和C, 又因为y=sin =cos4x且y=f(-x)=cos(-4x)=f(x),是偶函数,故选C.,2.选D.因为f(x)的最小正周期为T=, 所以 又y=f(x)是偶函数, 所以f(-x)=f(x). 所以,【延伸探究】若本例2中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,结果如何?,【解析】选C.因为f(x)的最小正周期T=, 所以 又y=f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 所以,【方法技巧】三角函数周期性与奇偶

7、性的解题策略 (1)探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式,再利用公式求解.,(2)判断函数y=Asin(x+)或y=Acos(x+)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asinx(A0)或y=Acosx(A0)其中的一个.,【拓展延伸】抽象函数周期问题的解题策略 (1)对于抽象函数的求值问题,一般是根据函数的奇偶性、周期性等,将所求函数值转化为可求函数值范围内求解. (2)若根据所给条件,能找到与已知相同或相近的函数,则借助于该函数的性质来分析抽象函数,进而处理相关问题.,【变式训练】 1.若f(x)是以 为周期的函数, =-1,则 =_. 【解析】 答案:-1,2.若f(x)为奇函数,当x0时,f(x)=x2-sinx,求当x0,f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx, 因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-sinx, 即x0时,f(x)=-x2-sinx.,【核心素养培优区】 【易错案例】用定义求函数的最小正周期 【典例】利用定义求f(x)=sin 的最小正周期.,【失误案例】因为f(x+2)=sin 所以f(x)的周期T=2.,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的根本原因是,错解中求的不是最小正 周期.对于y=Asin(x+)(A0,0),其周期为 .,【自我纠正】令z=2x- , 因为xR,所以zR. 又因为y=sinz的周期是2, z+2= +2=2(x+)- , 所以f(x+)=sin,所以T=.,

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