2018-2019学年高中数学人教a版必修4课件：1.1.1任意角

1、第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任 意 角,1.角的概念 角可以看成平面内_绕着端点从一个位置 _到另一个位置所成的图形.,一条射线,旋转,2.角的表示 顶点:用O表示; 始边:用OA表示,用语言可表示为_; 终边:用OB表示,用语言可表示为_.,起始位置,终止位置,3.角的分类 (1)按角的旋转方向分 按逆时针方向旋转所形成的角,规定为_. 按顺时针方向旋转所形成的角,规定为_. 当一条射线没有作任何旋转时,规定为_.,正角,负角,零角,如图:,正,负,零,(2)按角的终边位置分 角的终边在第几象限内,则此角称为第几_. 角的终边在_上,则此角不属于任何一个象限.,象限角,坐标轴,4.终边相同的角,【点拨】(1)解读任意角的概念 三个要素:顶点、始边、终边. 用旋转的观点来定义角,就可以把角的概念推广到任意角,包括任意大小的正角、负角和零角. 对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字. 要明确旋转方向、大小.,(2)象限角的集合表示,【自我检测】 1.设M=小于90的角,N=第一象限的角,则MN=( ) A.锐角 B.小于90的角 C.第一象限的角 D.以上都不对

2、,【解析】选D.因为MN=|90且k360 k360+90,k=0,-1,-2,-3,所以MN不同于A,B,C.,2.2016是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】选C.2016=5360+216,因为216是第三象限角,所以2016是第三象限角.,3.与-463角终边相同的角为 ( ) A.k360+463,kZ B.k360+103,kZ C.k360+257,kZ D.k360-257,kZ,【解析】选C.因为-463=-2360+257, 所以257与-463终边相同,故选C.,4.30角的始边与x轴的非负半轴重合,把终边按顺时针方向旋转2周,所得角是_. 【解析】由题意知,所得角为30-2360=-690. 答案:-690,类型一 与任意角有关的概念辨析 【典例】1.给出下列说法: 锐角都是第一象限角; 第一象限角一定不是负角; 第二象限角是钝角;,小于180的角是钝角、直角或锐角. 其中正确命题的序号为_(把正确命题的序号都写上).,2.将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是_. 3.射线OA绕端点O顺时针旋转80到OB位置,接

3、着逆时针旋转250到OC位置,然后再顺时针旋转270到OD位置,则AOD=_.,【审题路线图】1.锐角,钝角,直角,负角与0,90,180比较角的终边. 2.分针转过的度数分针旋转方向正角或负角. 3.表示角的度数角的始边和终边建系结合图形.,【解析】1.锐角是大于0且小于90的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,所以正确; -330角是第一象限角,但它是负角,所以不正确; 480角是第二象限角,但它不是钝角,所以不正确; 0角是小于180的角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故不正确. 答案:,2.将时钟拨快20分钟,分针顺时针旋转120,所以分针转过的度数为-120. 答案:-120,3.如图: AOD=AOB+BOC+COD =(-80)+250+(-270)=-100. 答案:-100,【延伸探究】本例2中改为时钟走了3小时20分钟,则时针所转过的角的度数为多少?分针转过的角的度数为多少?,【解析】从时针和分针每小时或每分钟转过的角的度 数为切入点,时针每小时转30,分针每小时转360, 每分钟转6.时针、分针都按顺时针方向旋转,故转过 的角的度数都是负的,3小时20分即3

4、 小时,故时针转 过的角的度数为-3 30=-100;分针转过的角的 度数为-3 360=-1200.,【方法技巧】 1.角的表示的技巧 (1)通常用希腊字母,等表示,如“角”或“”,也可以简化为“”. (2)也可以用三个大写字母表示(前面要加“”),如“AOB”.,(3)用图示表示角时,箭头不可以丢掉,因为箭头代表了旋转的方向,即箭头代表着角的正负.,2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧:判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可.,【变式训练】写出图(1),(2)中的角,的度数.,【解析】题干图(1)中,=360-30=330; 题干图(2)中,=-360+60+150=-150; =360+60+(-)=360+60+150=570.,类型二 终边相同的角的表示及应用 【典例】1.如图所示: 则终边落在直线y= x上的角的集合为_.,2.已知=-1910. (1)把写成+k360(kZ,0360)的形式. (2)求,使与的终边相同,且-7200.,【审题路线图】1.终边落在直线y= x上分

5、x0,x0两种情况求并集. 2.(1)要写成+k360的形式的范围k的值. (2)求角明确的范围确定k的值.,【解析】1.终边落在y= x(x0)上的角的集合是 S1=|=60+k360,kZ, 终边落在y= x(x0)上的角的集合是 S2=|=240+k360,kZ, 于是,终边落在y= x上的角的集合是,|=60+k360,kZ|=240+k 360,kZ =|=60+2k180,kZ|=60+ (2k+1)180,kZ =|=60+n180,nZ. 答案:|=60+n180,nZ,2.(1)因为-1910360=-6250, 所以-1910=-6360+250. (2)令=250+k360(kZ), 因为-7200, 所以-720250+k3600, 即,因为kZ,所以k=-1或-2. 即250+(-1)360=-110, 250+(-2)360=-470.,【方法技巧】 1.在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地,可以将所给的角化成k360+的形式(其中0360,kZ),其中的就是所求的角.,(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给

6、角是负角时,采用连续加360的方式;当所给角是正角时,采用连续减360的方式,直到所得结果达到要求为止.,2.运用终边相同的角的注意点 所有与角终边相同的角,连同角在内可以用式子k360+,kZ表示,在运用时需注意以下四点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉. (2)是任意角.,(3)k360与之间用“+”连接,如k360-30应看成k360+(-30),kZ. (4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.,【拓展延伸】终边相同的角的相关结论 (1)终边相同的角之间相差360的整数倍. (2)终边在直线上的角之间相差180的整数倍. (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍.,【变式训练】已知角的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角的取值范围.,【解题指南】结合图形,在0360范围内,写出终边在阴影部分内的角的范围,再加上360的整数倍后进行集合的合并.,【解析】终边在30角的终边所在直线上的角的集合为S1=|=30+k180,kZ, 终边在180-75=105角的终边所在直线上的角的集合为S2=|=105+k180,

7、kZ, 因此终边在图中阴影部分的角的取值范围为|30+k180105+k180,kZ.,【补偿训练】已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在 x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角,且指出在0360范围内与其终边相同的角. (1)-75 (2)855 (3)-510,【解析】作出各角的终边如图所示:,由图可知:(1)-75是第四象限的角.(2)855是第二象限的角.(3)-510是第三象限的角. (1)-75=285-360,所以在0360范围内, 与-75角终边相同的角是285.,(2)855=135+2360,所以在0360范围内,与855终边相同的角是135. (3)-510=210-2360,所以在0360范围内,与-510终边相同的角是210.,类型三 象限角和区间角的表示 【典例】1.420是第_象限的角.,2.已知,如图所示. (1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合. (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.,【审题路线图】1.420+k360在0360范围内确定. 2.确定终边落在OA,OB位置上的角观察图形OA,OB是哪个角的边.,【

8、解析】1.420=360+60, 所以在0360范围内,与420角终边相同的角是60,它是第一象限的角. 答案:一,2.(1)终边落在OA位置上的角的集合为|=90+45+k360,kZ= |=135+k360,kZ; 终边落在OB位置上的角的集合为|=-30 +k360,kZ.,(2)由题干图可知,阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于-30,135之间的与之终边相同的角组成的集合,故该区域可表示为|-30+k360 135+k360,kZ.,【延伸探究】 1.若将本例2改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示?,【解析】在0360范围内,终边落在阴影部分 (包括边界)的角为60105与240285, 所以所有满足题意的角为|k360+60k360+105,kZ |k360+240k360+285,kZ,=|2k180+602k180+105,kZ|(2k+1)180+60(2k+1)180+105,kZ =|n180+60n180+105,nZ. 故角的取值集合为|n180+60n180+105,nZ.,2.若将本例2改为如图所示的图形,那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?,【解析】在0360范围内,阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为:150225, 则所有满足条件的角为 |k360+150k360+225,kZ.,【方法技巧】 1.象限角的判定的方法 (1)根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的思想,因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系. (2)将角转化到0360范围内.在直角坐标平面内,在0360之间没有两个角终边是相同的.,2.表示区域角的三个步骤 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 -360360范围内的角和,写出最简区间x|x,其中

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