2018-2019学年高中数学人教a版必修4练习：3.2 简单的三角恒等变换（二） word版含解析

1、课时提升作业 三十简单的三角恒等变换(二)(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.y=sinxcosx+sin2x可化为()A.22sin2x-4+12B.2sin2x+4-12C.sin2x-4+12D.2sin2x+34+1【解析】选A.y=12sin2x+1-cos2x2=12sin2x-12cos2x+12=2222sin2x-22cos2x+12=22sin2x-4+12.2.(2018包头高一检测)函数f(x)=6cos32+x-cos2x的最小值是()A.-7B.-6C.-5D.-4【解析】选C.函数f(x)=6cos32+x-cos2x化简可得f(x)=6sinx+2sin2x-1= 2sinx+322-92-1,当sinx=-1时,函数f(x)取得最小值为-5.3.(2018锦阳高一检测)已知cos,sin是函数f(x)=x2-tx+t(tR)的两个零点,则sin2=()A.2-22B.22-2C.2-1D.1-2【解析】选A.因为cos,sin是函数f(x)=x2-tx+t(tR)的两个零点,所以sin+cos=t,sincos=t,由sin2+co

2、s2=1,得(sin+cos)2-2sincos=1,即t2-2t=1,解得t=1-2,或t=1+2(舍).所以sin2=2sincos=2t=2-22.二、填空题(每小题4分,共8分)4.设a=12sin2+32cos2,b=1-2sin213,c=32,则a,b,c的大小关系是_.【解析】因为a=12sin2+32cos2=sin62,b=1-2sin213=cos26=sin64,c=32=sin60,则cab.答案:cab5.已知函数f(x)=sin(-x)sin2-x+3cos2(+x)-32,则f4=_.【解析】f(x)=sin(-x)sin2-x+3cos2(+x)-32=sinxcosx+3cos2x-32=12sin2x+312(1+cos2x)-32=12sin2x+32cos2x+32-32=sin2x+3,则f4=sin24+3=sin2+3=cos3=12.答案:12三、解答题6.(10分)(2018庄河高一检测)已知向量a=(-sinx,2),b=(1,cosx),函数f(x)=ab.(1)求f6的值.(2)若ab时,求sin(+x)+4cos(2-x)si

3、n2-x-4sin(-x)的值.【解析】(1)因为向量a=(-sinx,2),b=(1,cosx),所以函数f(x)=ab=-sinx+2cosx,所以f6=3-12.(2)因为ab,所以f(x)=ab=-sinx+2cosx=0,所以tanx=2,所以sin(+x)+4cos(2-x)sin2-x-4sin(-x)=-sinx+4cosxcosx+4sinx=-tanx+41+4tanx=-2+41+42=29.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,0x2,则f(x)的最大值是()A.1B.2C.3+1D.3+2【解析】选B.f(x)=(1+3tanx)cosx=1+3sinxcosxcosx=3sinx+cosx=2sinx+6.因为0x2,所以6x+623,所以当x+6=2时,f(x)取到最大值2.【补偿训练】函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是()A.1+2B.2-1C.2D.2【解析】选A.y=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+2sin2x-4,ymax=1+2.2.(

4、2018江西高一检测)已知f(x)=sin(2017x+6)+cos2 017x-3的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为()A.2 017B.22 017C.42 017D.4 034【解析】选B.f(x)=sin2 017x+6+cos(2017x-3) =sin2017xcos6+cos2017xsin6+cos2017xcos3+sin2017xsin3=32sin2017x+12cos2017x+12cos2017x+32sin2017x=3sin2017x+cos2017x=2sin2 017x+6.所以f(x)的最大值为A=2;由题意得,|x1-x2|的最小值为T2=2 017,所以A|x1-x2|的最小值为22 017.二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数f(x)=sin2xcosx1-sinx的值域为_.【解析】f(x)=2sinxcos2x1-sinx=2sinx(1-sin2x)1-sinx=2sinx+2sin2x,又-1sinx1,所以f(x)-12,4.答案:-12,4【补偿

5、训练】函数f(x)=sin2x-cos(2x+6)的单调递减区间是_.【解析】因为f(x)=sin2x-cos2x+6=sin2x-cos2xcos6+sin2xsin6=sin2x-32cos2x+12sin2x=32sin2x-32cos2x=3sin2x-6.由2+2k2x-632+2k,kZ得3+kx56+k,kZ.所以f(x)的单调递减区间是3+k,56+k,kZ.答案:3+k,56+k,kZ4.设0,2,OP1=(cos,sin),OP2=(3-cos,4-sin).则P1,P2两点间距离的取值范围是_.【解析】因为P1P2=OP2-OP1=(3-2cos,4-2sin),所以|P1P2|2=(3-2cos)2+(4-2sin)2=29-12cos-16sin=29-20cos(+),所以3|P1P2|7.答案:3,7三、解答题5.(10分)如图,在直角坐标系xOy中,点P是单位圆上的动点,过点P作x轴的垂线与射线y=3x(x0)交于点Q,与x轴交于点M.记MOP=,且-2,2.(1)若sin=13,求cosPOQ.(2)求OPQ面积的最大值.【解析】(1)因为sin=13,且-2,2,所以cos=223,所以cosPOQ=cos3-=cos3cos+sin3sin=22+36.(2)由三角函数定义,得P(cos,sin),从而Q(cos,3cos),所以SPOQ=12|cos|3cos-sin|=12|3cos2-sincos|=1232+3cos22-12sin2=1232+sin3-21232+1=34+12.因为-2,2,所以当=-12时,等号成立,所以OPQ面积的最大值为34+12.【补偿训练】如图,矩形ABCD的长AD=23,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.【解析】过点B作BHOA,垂足为H.设OAD=02,则BAH=2-,OA=23cos,BH=sin2-=cos,AH=cos2-=sin,所以B(23cos+sin,cos),OB2=(23cos+sin)2+cos2=7+6cos2+23sin2=7+43sin2+3.由02,知32+343,所以当=12时,OB2取得最大值7+43.

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