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2018-2019学年高中数学人教a版必修4练习：2.3.1平面向量基本定理 word版含解析

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1、课时提升作业十九平面向量基本定理(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.e1-e2,e2-e1B.2e1-e2,e1-12e2C.2e2-3e1,6e1-4e2D.e1+e2,e1-e2【解析】选D.选项A,B,C中的向量都是共线向量,不能作为平面向量的基底.2.如图,在ABC中,BD=12DC,AE=3ED,若AB=a,AC=b,则BE=()A.13a+13bB.-12a+14bC.12a+14bD.-13a+13b【解析】选B.因为AE=3ED,所以BE-BA=3(BD-BE).所以4BE=BA+3BD,因为BD=12DC,所以BD=13BC,所以4BE=BA+BC,所以4BE=-AB+(AC-AB).所以4BE=-2AB+AC,所以BE=-12AB+14AC,所以BE=-12a+14b.3.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有CD=43CA+CB,则=()A.23B.13C.-13D.-23【解析】选C.因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使AD=tAB,则CD-CA=t(CB

2、-CA).所以CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB.所以1-t=43,t=,解得=-13.【误区警示】本题容易出现未能利用共线导出系数关系,从而无法求值的问题,应充分利用共线条件进行转化.二、填空题(每小题4分,共8分)4.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,若用m,n表示p,则p=_.【解析】设p=xm+yn,则3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,得2x+4y=3,-3x-2y=2x=-74,y=138.所以p=-74m+138n.答案:-74m+138n5.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设AB=a, AD=b,若用a,b来表示向量AN,则AN=_.【解析】以AB=a,AD=b作为以A点为公共起点的一组基底,则AN=AD+DN=AD+34DB=AD+34(AB-AD)=14AD+34AB=34a+14b.答案:34a+14b三、解答题6.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底.(2)以a,b

3、为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=a+b,求,的值.【解析】(1)若a,b共线,则存在R,使a=b,则e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共线,得=1,3=-2=1,=-23.所以不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以m+n=3,-2m+3n=-1m=2,n=1.所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(-2+3)e2.所以+=4,-2+3=-3=3,=1.故所求,的值分别为3和1.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.如图,AB是O的直径,点C,D是半圆弧AB的两个三等分点,AB=a,AC=b,AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b【解析】选D.连接CD,OD,因为点C,D是半圆弧AB的两个三等分点,所以AC=BD,所以CDAB,CAD=DAB=30,因为OA=OD,ADO=DAO=30,

4、所以CAD=ADO=30,所以ACDO.所以四边形ACDO为平行四边形,AD=AO+AC,因为AO=12AB=12a,AC=b,所以AD=12a+b.2.已知点O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|(0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】选B.AB|AB|为AB上的单位向量,AC|AC|为AC上的单位向量,则AB|AB|+AC|AC|的方向为BAC的角平分线AD的方向.又(0,+),所以AB|AB|+AC|AC|的方向与AB|AB|+AC|AC|的方向相同.而OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,所以点P在AD上移动,所以点P的轨迹一定通过ABC的内心.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+e2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数的取值范围为_.【解析】若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+e2,由akb即得4.答案:(-,4)(4,+)4.如图,平面内三个向量OA,OB,OC,其中AOB

5、=120,AOC=30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=OA+OB(,R),则+的值为_.【解析】作平行四边形OECF,如图所示.则OC=OE+OF=OA+OB.即OE=OA,OF=OB.因为AOB=120,AOC=30,所以BOC=90.所以在RtCOF中,|OC|=23,OCF=30,所以|OF|=2,|FC|=4,所以|OE|=4.因为|OA|=|OB|=1.所以OE=4OA,OF=2OB.所以OC=4OA+2OB.所以=4,=2,所以+=6.答案:6三、解答题5.(10分)如图所示,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若AB=a,AD=b,用a,b表示AG.【解析】易知CF=12CD,CE=12CB,设CG=CA,则由平行四边形法则,得CG=(CB+CD)=2CE+2CF,由于E,G,F三点共线,则2+2=1,故=14.从而CG=14CA,AG=34AC=34(a+b).【补偿训练】如图,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值.【解析】设AB=a,AC=b,则AO=12(AB+AC)=12a+12b,又AO=AM+MO=AM+MN=AM+(AN-AM)=(1-)AM+AN=1-ma+nb.根据平面向量基本定理得1-m=12,n=12,消去整理得m+n=2.

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