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2018-2019学年高中数学人教a版必修4练习：2.3.2 2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算 word版含解析

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常见问题

1、课时提升作业二十平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.已知M(3,-2),N(-5,-1)且MP=12MN,则点P的坐标为()A.(-8,1)B.1,32C.-1,-32D.(8,-1)【解析】选C.设P(x,y),由(x-3,y+2)=12(-8,1),所以x=-1,y=-32.2.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量AB同向的单位向量是()A.35,-45B.-35,45C.-45,35D.45,-35【解析】选A.因为与AB同向的单位向量为AB|AB|,|AB|=(4-7)2+(1+3)2=5.AB=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),所以AB|AB|=35,-45.3.已知A(7,1),B(1,4),直线y=12ax与线段AB交于C,且AC=2CB,则实数a等于()A.2B.1C.45D.53【解析】选A.设C(m,n),则AC=(m-7,n-1),CB=(1-m,4-n),又AC=2CB,所以m-7=2-2m,n-1=8-2n,解得m=3,n=3,所以C(3,3),代入y=12ax得,3=32a,

2、所以a=2.二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则12AC-14BC的坐标是_.【解析】12AC-14BC=12(-10,14)-14(-8,4)=(-5,7)-(-2,1)=(-3,6).答案:(-3,6)5.已知边长为单位长度的正方形ABCD,若A点与坐标原点重合,边AB,AD分别落在x轴、y轴的正方向上,则向量2AB+3BC+AC的坐标为_.【解析】根据题意各顶点的坐标分别为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).所以AB=(1,0),BC=(0,1),AC=(1,1).所以2AB+3BC+AC=(2,0)+(0,3)+(1,1)=(3,4).答案:(3,4)三、解答题6.(10分)在直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.【解析】设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1=|a|cos 45=222=2,a2=|a|sin 45=222=2;b1=|b|cos 120=3-12=-32,b2=|b|sin 120=332=332;c1=|c|

3、cos(-30)=432=23,c2=|c|sin(-30)=4-12=-2.因此a=(2,2),b=-32,332,c=23,-2.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在AOB内,且AOC=45,设OC=OA+(1-)OB(R),则的值为()A.15B.13C.25D.23【解析】选C.如图所示,因为AOC=45,所以设C(x,-x),则OC=(x,-x).又因为A(-3,0),B(0,2),所以OA+(1-)OB=(-3,2-2).所以x=-3,-x=2-2=25.2.已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR是两个向量集合,则PQ等于()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(0,1)【解析】选A.设a=(x,y),则P=(x,y)|x=1y=m,所以集合P是直线x=1上的点的集合.同理集合Q是直线x+y=2上的点的集合,即P=(x,y)|x=1,Q=(x,y)|x+y-2=0.所以PQ=(1,1).二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知A(2,

4、3),B(1,4),且12AB=(sin,cos),-2,2,则+=_.【解析】因为12AB=12(-1,1)=-12,12=(sin,cos),所以sin=-12且cos=12,所以=-6,=3或-3.所以+=6或-2.答案:6或-24.等腰梯形ABCD中,ABCD,DC=2AB,三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为_.【解析】设点D的坐标为(x,y).因为DC=2AB,所以DC=2AB.因为DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2).所以4-x=2,2-y=-2.解得x=2,y=4.故点D的坐标为(2,4).答案:(2,4)三、解答题5.(10分)已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标.(3)求使f(c)=(3,5)

5、成立的向量c.【解析】(1)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则f(ma+nb)=f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),又因为mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).(2)f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).(3)设c=(x,y),由y=3,2y-x=5,得x=1,y=3,所以c=(1,3).【补偿训练】在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2).(1)若PA+PB+PC=0,求OP的坐标.(2)若OP=mAB+nAC(m,nR),且点P在函数y=x+1的图象上,试求m-n.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),因为PA+PB+PC=0,又PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).所以6-3x=0,6-3y=0,解得x=2,y=2.所以点P的坐标为(2,2),故OP=(2,2).(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3),C(3,2).所以AB=(2,3)-(1,1)=(1,2),AC=(3,2)-(1,1)=(2,1),因为OP=mAB+nAC,所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以x0=m+2n,y0=2m+n,两式相减得m-n=y0-x0,又因为点P在函数y=x+1的图象上,所以y0-x0=1,所以m-n=1.

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