2018-2019学年高中数学人教a版必修3课件：3.3.1几何概型

1、3.3 几何概型 3.3.1 几何概型,几何概型,构成该事件区域的,长度(面积或体积)成比例,无限多个,相等,【点拨】 (1)几何概型的概率公式的理解 公式中“长度”的理解:公式中的“长度”不一定是实际意义的长度.有些书上也叫测度,测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定,若区域分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的测度分别是长度、面积和体积;,等可能性:当试验全部结果所构成的区域长度一定时,A的概率只与构成事件A的区域长度有关,而与A的位置形状无关.,(2)几何概型与古典概型的区别与联系,【自我检测】 1.转动图中各转盘,指针指向红色区域的概率最大的 是 ( ),【解析】选D.D中红色区域面积是圆面积的一半,其面积比A,B,C中要大,故指针指到的概率最大.,2.X在3,40上均匀分布,则X的值不能等于 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 【解析】选D.由于X3,40,则3X40,则X45.,3.在1000mL水中有一个草履虫,现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是 . 【解析】由几何概型知,P= 答案:,4.在区间0,1上任取一个实数a,则事件

2、“3a-10” 发生的概率为 . 【解析】由题意,得0a ,所以根据几何概型的概 率计算公式,得事件“3a-10”发生的概率为 . 答案:,5.在半径为1的圆中随机地投一个点,则点落在圆内接正方形中的概率是 .,【解析】点落在圆内的任意位置是等可能的,而落在圆 内接正方形中只与面积有关,与位置无关,符合几何概 型特征,圆内接正方形的对角线长等于2,则正方形的 边长为 .因为圆面积为,正方形面积为2,所以 P= . 答案:,类型一 与长度有关的几何概型 【典例】1.已知函数f(x)=log2x,在区间 上随机取一值x0,则使得f(x0)0的概率为 .,2.在区间-2,4上随机地取一个数x,若x满足|x|m 的概率为 ,则m= . 3.某公共汽车站,每隔15分钟有一辆车发出,并且发出 前在车站停靠3分钟,求乘客到站候车时间大于10分钟 的概率.,【审题路线图】与长度有关的几何概型P(A),【解析】1.f(x)=log2x0可以得出x1,所以在区间 上使f(x)0的范围为1,2,所以使得f(x0)0 的概率为P= 答案:,2.由几何概型知: 答案:3,3.如图所示,设相邻两班车的发车时刻为T

3、1,T2,T1T2=15.,设T0T2=3,TT0=10,记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A. 则当乘客到站时刻t落到T1T上时,事件A发生. 因为T1T=15-3-10=2,T1T2=15, 所以P(A)=,【延伸探究】1.在本例3题设条件不变的情况下,求候车时间不超过10分钟的概率.,【解析】由原题解析图可知,当t落在TT2上时,候车时 间不超过10分钟,故所求概率P=,2.在本例3题设条件不变的情况下,求乘客到达车站立即上车的概率.,【解析】由原题解析图可知,当t落在T0T2上时,乘客 立即上车,故所求概率P=,【方法技巧】求解与长度有关的几何概型的步骤 (1)找到试验的全部结果构成的区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段. (2)找到事件A发生对应的区域d,在找d的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A的概率.,(3)利用几何概型的概率计算公式P= 计算. 提醒:解几何概型问题时,常常需要寻找不等关系.要找不等关系,先找等量关系,再借助图形分析寻找不等关系.,【补偿训练】1.(2018江苏高考)记函数f(x)= 的定义域为D.在区间-

4、4,5上随机取一个 数x,则xD的概率是 .,【解析】由6+x-x20,即x2-x-60,得-2x3, 根据几何概型的概率计算公式得xD的概率是 答案:,2.如图所示,A,B两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少?,【解题指南】在A,B之间每一位置处安装路灯C,D都是一个基本事件,基本事件有无限多个,且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件发生的概率只与长度有关,符合几何概型的条件.,【解析】记E:“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”, 把AB三等分,由于中间长度为30 =10(米), 所以P(E)=,类型二 与面积有关的几何概型 【典例】1.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( ),A.1- B. -1 C.2- D.,2.在区间-2,2上任取两个实数x,y组成有序数对(x,y),求满足x2+y24的概率.,【审

5、题路线图】与面积有关的几何概型P(A)=,【解析】1.选A.由题意知,将两个四分之一圆合在一 起,其面积为 12= ,矩形面积为2,则所求 概率为,2.在区间-2,2上任取两个实数x,y组成有序数对(x,y),充满的区域是边长为4的正方形区域,其中满足x2+y24的是图中阴影区域(如图所示), S阴=22=4, 所以P=,【延伸探究】若本例2中“两个实数x,y”改为“两个整数x,y”概率如何?,【解析】在区间-2,2上任取两个整数x,y组成有序 数对(x,y),共计25个,其中满足x2+y24的在圆上或 圆内共计13个(如图所示),所以P=,【方法技巧】与面积有关的几何概型问题的解法 (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示,则其概率的计算公式为:,(2)解几何概型问题的关键点: 根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题. 找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积,套用公式求得概率.,【变式训练】(2018全国卷)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点

6、,则此点取自黑色部分的概率是 ( ),【解析】选B.设正方形边长为2,则圆半径为1,则正方 形的面积为22=4,圆的面积为12=,图中黑色 部分的面积为 ,则此点取自黑色部分的概率为,【补偿训练】一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m, 宽20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.,【解析】如图,四边形ABCD是长30m,宽20m的长方形.图中的阴影部分表示事件A:“海豚嘴尖离岸边不超过2m”.,问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率. 因为S长方形ABCD=3020=600(m2), S长方形ABCD=(30-4)(20-4)=416(m2), 所以S阴影部分=S长方形ABCD-S长方形ABCD=600-416 =184(m2), 根据几何概型的概率公式,得P(A)=,类型三 与体积有关的几何概型 【典例】1.有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,则这一小杯水中含有这个细菌的概率为 .,2.已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内 随机取一点M,求使四棱锥M-ABCD的体积不超过 (事件A)的概率.,【审题路线图】与体

7、积有关的几何概型,【解析】1.设小水杯中含有这个细菌为事件A,则 事件A构成的区域体积是0.1升,全部试验结果构成 的区域体积是2升,所以P(A)= =0.05. 答案:0.05,2.设M到平面ABCD的距离为h,则VM-ABCD= S底ABCDh .又S底ABCD=1,所以只要h 即可.所有满足h 的点组成以四边形ABCD为底面, 为高的长方体,其体 积为 .又正方体的体积为1,所以使四棱锥M -ABCD 的体积不超过 的概率为P(A)=,【方法技巧】 1.与体积有关的几何概型概率的求法 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示,则其概率的计算公式为,2.解决与体积有关的几何概型的关键点 解决此类问题的关键是注意几何概型的条件,分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关,不要将二者混淆.,【变式训练】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .,【解析】依题意,在棱长为3的正方体内任意取一点, 这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为: 位于该正方体中的一个棱长为1

8、的小正方体.由几何概 型的概率公式,可得满足题意的概率为:P= 答案:,【延伸探究】本题条件不变,求这个蜜蜂飞到正方体 某一顶点A的距离小于 的概率.,【解析】到A点的距离小于 的点,在以A为球心, 半径为 的球内部,而点又必须在已知正方体内, 则满足题意的A点的区域体积为 所以P=,【核心素养培优区】 【易错案例】几何概型的应用 【典例】在等腰RtABC中,过直角顶点C在ACB内部 任作一条射线CM,与线段AB交于点M,则|AM|AC|的概 率为_.,【失误案例】在AB上取点C,使AC=AC.在ACB内 作射线CM看作在线段AC上任取一点M,过C,M作射线 CM,则概率为,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:虽然在线段AC上任取一点M是等可能的,但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的,因而不能把等可能取点看作等可能作射线,尽管点与射线是一一对应的,因此在确定基本事件时,一定要注意选择好观察角度,注意判断基本事件发生的等可能性.,【自我纠正】在ACB内的射线CM是均匀分布的,所以 射线CM在任何位置都是等可能的.在AB上取AC=AC, 则ACC=67.5,故满足条件的概率为 答案:0.75,

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