2018-2019学年高中数学人教a版必修3课件：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征,1.众数、中位数、平均数定义 (1)众数:一组数据中出现次数_的数. (2)中位数:把一组数据按_的顺 序排列,处在_位置的数(或中间两个数的_).,最多,从小到大(或从大到小),中间,平均数,(3)平均数:如果n个数为x1,x2,xn,那么 = _.,2.标准差、方差的概念及计算公式 标准差是样本数据到平均数的一种_,一般用 s表示.即样本数据x1,x2,xn的标准差 s=_. 方差,平均距离,【点拨】 三种数字特征的比较,【自我检测】 1.奥运会体操比赛的计分规则为:当评委亮分后,其成绩先去掉一个最高分,去掉一个最低分,再计算剩下分数的平均值,这是因为 ( ) A.减少计算量 B.避免故障 C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛,【解析】选C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,计分过程中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.,2.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是

2、( ) A.平均数中位数众数 B.平均数中位数众数 C.中位数众数平均数 D.众数=中位数=平均数,【解析】选D.众数为50,平均数 (20+30+40+50 +50+60+70+80)=50,中位数为 (50+50)=50.,3.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2,则样本平均值为 ( ) A.4.55 B.4.5 C.12.5 D.1.64 【解析】选A.,4.已知5个数据3,5,7,4,6,则该样本的标准差 为 ( ) A.1 B. C. D.2,【解析】选B.,5.在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是_,_.,【解析】甲组数据为:28,31,39,42,45,55,57,58,66, 中位数为45.乙组数据为:29,34,35,42,46,48,53,55, 67,中位数为46. 答案:45 46,类型一 众数、中位数、平均数的计算 【典例】1.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,得95分的有1人,得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人,则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为 ( ),A.85,85,85

3、B.87,85,86 C.87,85,85 D.87,85,90,2.(2018荆州高一检测)以下茎叶图记录了甲、乙两组 各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为 ( ) A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8,3.某工厂人员及周工资构成如表:,(1)求工厂人员工资的众数、中位数、平均数. (2)平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗?为什么?,【审题路线图】众数、中位数、平均数结合众数、中位数、平均数的意义求出众数、中位数、平均数.,【解析】1.选C.平均数= =87分,众数为85,中位数为85. 2.选C.结合茎叶图上的原始数据,根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解.,由于甲组数据的中位数为15=10+x,所以x=5.又乙组数 据的平均数为 =16.8,所以y=8,所 以x,y的值分别为5,8.,3.(1)由题中表格可知:众数为1200,中位数为1220,平均数为(2200+12506+12205+120010+490) 23=1230(元/周).,(2)虽然平均数为1230元/周,但从题

4、干表格中所列出的数据可见,只有经理和6名管理人员的周工资在平均数以上,其余的人的周工资都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平.,【方法技巧】平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的;计算众数、中位数时,可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,再根据各自的定义计算. 提醒:如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在较大的极端值.,【变式训练】据报道,某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下:,(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数.(精确到1元) (2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到1元),(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.,【解析】(1)平均数是 =1500+ 1500+591=2091(元). 中位数是1500元,众数是1500元.,(2)平均数是 =1500+ 1500+1788=3288(元). 中位数是1500元,众数是1500元.,(3)在这个问题中,中位数或众数均

5、能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.,【补偿训练】1.甲、乙两台机床同时生产一种零件,现 要检验它们的运行情况,统计10天中两台机床每天出 次品数分别为甲:0,1,0,2,2,0,3,1,2,4;乙:2,3,1,1, 0,2,1,1,0,1.则从平均数考虑,甲、乙两台机器出次品 数较小的为 ( ) A.甲 B.乙 C.相同 D.不能比较,【解析】选B. (0+1+0+2+4)=1.5, (2+3+1)=1.2.,2.某试卷共有六道单选题,每题答对得20分,答错、不 答得0分,满分120分.阅卷完毕后,公布每题答对率如下: 则此次调查全体同学的平均分数是_分.,【解析】假设全校一共有x人,则每道题答对人数及总分分别为:,所以六道题的总分为66x,平均分为 =66. 答案:66,3.高一(3)班有男同学27名,女同学21名,在一次语文测验中,男同学的平均分是82分,中位数是75分,女同学的平均分是80分,中位数是80分.,(1)求这次测试全班平均分(精确到0.01). (2

6、)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人? (3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因.,【解析】(1)利用平均数计算公式得 (8227+ 8021)81.13(分). (2)因为男同学的中位数是75. 所以至少有14人得分不超过75分. 又因为女同学的中位数是80, 所以至少有11人得分不超过80分. 所以全班至少有25人得分低于80分(含80分).,(3)男同学的平均分与中位数的差别较大,说明男同学中两极分化现象严重,得分高的和低的相差较大.,类型二 方差和标准差 【典例】1.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_.,2.某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩相同,从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如表:,(1)求两人比赛成绩的平均数以及方差. (2)分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数学竞赛,选谁更合适?,【审题路线图】与方差有关的问题根据数据特征选择公式求出方差,然后根据实际问题比较方差的大小.,【解析】1.由茎叶图知 所以s2= (8-

7、11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+ (15-11)2=6.8. 答案:6.8,2.(1)设甲、乙两人成绩的平均数分别为 则 =130+ (-3+8+0+7+5+1)=133, =130+ (3-1+8+4-2+6)=133, (-6)2+52+(-3)2+42+22+(-2)2= , 02+(-4)2+52+12+(-5)2+32= .,(2)由(1)知,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该选乙参加竞赛比较合适.,【方法技巧】 1.用样本的标准差、方差估计总体的方法 用样本估计总体时,样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中,当所得数据的平均数不相等时,需先分析平均水平,再计算标准差(方差)分析稳定情况.,2.标准差(方差)的作用 在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均数相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.,【变式训练】甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,从中抽取6件测量数据为: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 9

8、9 100 100,(1)分别计算两组数据的平均数及方差. (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定.,【解析】(1) (99+100+98+100+100+103)=100, (99+100+102+99+100+100)=100, (99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100- 100)2+(100-100)2+(103-100)2= ,(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2=1. (2)由(1)知 ,比较它们的方差,因为 ,故乙机床加工零件的质量更稳定.,【补偿训练】1.为了稳定市场,确保农民增收,某农产品7月份的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关,并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小,下表列出的是该产品今年前6个月的市场收购价格:,则前7个月该产品的市场收购价格的方差为 ( ),【解析】选B.设7月份的市场收购价格为x,则y=(x- 71)2+(x-72)2+(x-70)2=3x2-426x+15125,则当x=71时,7 月份的市场收购价格

9、与前三个月的市场收购价格之差 的平方和最小.则7月份的市场收购价格为71.则计算 得前7个月该产品的市场收购价格的平均数是71,方差 是 .,2.某车间20名工人年龄数据如表:,(1)求这20名工人年龄的众数与极差. (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图. (3)求这20名工人年龄的方差.,【解析】(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19=21. (2)茎叶图如下:,(3)年龄的平均数为: 故这20名工人年龄的方差为: (-11)2+3(-2)2 +3(-1)2+502+412+322+102 = (121+12+3+4+12+100)= 252=12.6.,类型三 频率分布直方图与数字特征的综合应用 【典例】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.,(1)求这次测试数学成绩的众数. (2)求这次测试数学成绩的中位数.,【审题路线图】利用频率分布直方图求众数、中位数众数、中位数分别是频率分布直方图中最高的小矩形的中间值、累计频率为0.5时所对应的样本数据的值.,【解析】(1)由题干图知众数为 =75. (2)由题干图知,设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.40.5,因此中位数位于第四个矩形内,得0.1=0.03(x-70),所以x73.3.,【延伸探究】1.若本例条件不变,求数学成绩的平均分. 【解析】由题干图知这次数学成绩的平均分为:,2.本例条件不变,求80分以上的学生人数. 【解析】80,90)分的频率为:0.02510=0.25, 频数为:0.2580=2

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