西藏自治区2019届高三第四次月考数学（理）试题（解析版）

1、拉萨中学高三年级（拉萨中学高三年级（20192019 届）第四次月考理科数学试卷届）第四次月考理科数学试卷 （满分（满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟，请将答案填写在答题卡上）分钟，请将答案填写在答题卡上） 第第卷卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1.已知复数 满足，则 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 ， 的共轭复数在复平面内对应点坐 标为， 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选 D. 2.设集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解出不等式解集得到，集合 ，根据集合交集的概念得 到结果. 【详解】 , 故答案为：D. 【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌 握与集合有关的基础知识纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判 断和集合的运算解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的

2、含义，弄清集合中元素所具 有的形式以及集合中含有哪些元素二是考查抽象集合的关系判断以及运算 3.下列命题中正确的是（ ） A. 若为真命题，则为真命题 B. 若则恒成立 C. 命题“”的否定是“” D. 命题“若则 ”的逆否命题是“若，则” 【答案】B 【解析】 【分析】 A, 为真命题,则只要求 p 或者 q 中有一个是真命题即可, 为真命题，则要求两者均为真命题,可判断 真假；，令，对函数求导研究函数的最值得到函数大于 0 恒成立，即可得到结果正确；C，存 在量词的否定是，换量词否结论，不变条件，可判断正误；D，逆否命题为：既否结论又否条件. 【详解】A, 为真命题,则只要求 p 或者 q 中有一个是真命题即可，为真命题，则要求两者均为真 命题，故不正确； B，令，恒成立，在单调递增，,B 为真命题； C. 命题“”的否定是，故选项不正确； D. 命题“若则”的逆否命题是“若，则”故选项不正确. 故答案为：B. 【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假 也可以判断简单命题的真假假若 p 且 q 真，则 p 真，q 也真；若 p 或

3、 q 真，则 p，q 至少有一个真；若 p 且 q 假，则 p，q 至少有一个假 （2）可把“p 或 q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且 q”为真命题转化为 交集的运算 4.已知数列的前 项和，则“”是“为等比数列”的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 数列的前 项和(1),时, (2), (1)- (2)得: ,又, 时,为等比数列;若为等比数列,则,即“”是“为等比数列”的充要条件,故 选 A. 5.将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平移 个单位， 则所得函数图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 函数经伸长变换得，再作平移变换得 ，故选：B 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以 也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 6.在中，分别是内角的对边，若，的面积为，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由，的面积为，得：，从而有 由余弦定理

4、得:,即 故选：D 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意易得：， 故选：C 8.等比数列的前 项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 试题分析：设等比数列的公比为 ，成等差数列，则即，解得， ，则； 考点：等比数列；等差中项； 9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” ，若某“阳马”的三视图如图所示（网 格纸上小正方形的边长为 1） ，则该“阳马”最长的棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图： 其中 PA平面 ABCD，PA=3，AB=CD=4，AD=BC=5， PB=， PC=， PD= 该几何体最长棱的棱长为 故选：D 10.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 3：2，则的系数为（ ） A. 50 B. 70 C. 90 D. 120 【答案】C 【解析】 在中，令得，即展开式中

5、各项系数和为；又展开式中的二项式系数和为 由题意得，解得 故二项式为，其展开式的通项为， （） 令得 所以的系数为选 C 11.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 是定义在上的偶函数， ，即， 则函数的定义域为 函数在上为增函数， 故两边同时平方解得， 故选 12.已知定义在 上的偶函数的导函数为，函数满足：当时，且 .则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数，则 时，单调递增，为 上的奇函数 且，则当时，单调递增，不等式,当时，时，. 【详解】当时， 令，则，即当时，单调递增.又为 上的偶函数, 为 上的奇函数且，则当时，单调递增.不等式,当时， ，即 ，即，；当时， ，即， . 综上，不等式的解集为. 故答案为：C. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及导数在探究函数单调性中的应用，注意奇函数 的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻 烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接

6、根据这些性质得到不等式的解 集。 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.已知 ，若 与平行，则 m=_ 【答案】-3 【解析】 【分析】 根据向量的坐标运算写出的坐标，再利用向量共线定理即可求出 m. 【详解】因为,且 与平行 所以，解得 ，故填. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量共线定理，属于中档题. 14.设满足约束条件，则的取值范围为_ 【答案】 【解析】 由约束条件作出可行域如图，联立，解得，联立，解得，由图可知， 当目标函数过 时， 有最小值为；当目标函数过 时， 有最大值为 ，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般 步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对 应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3） 将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15.一艘轮船以速度向正北方向航行，在 处看灯塔 在船的北偏东 45方向，1 小时 30 分钟后航 行到 处，

7、在 处看灯塔 在船的南偏东 75方向上，则灯塔 与 的距离为_ 【答案】72 【解析】 由题意，ABS 中，A=45，B=75，AB= S=60 由正弦定理，可得 BS= 故答案为：72km. 16.双曲线的左、右焦点分别为，点， 分别在双曲线的左右两支上，且 ，线段交双曲线 于点 ，则该双曲线的离心率是 _ 【答案】 【解析】 分析：运用双曲线的对称性由条件可设 N 的坐标，由中点坐标公式可得 的坐标，再由在双曲线上得到 关于的关系式，从而可得双曲线的离心率 详解：根据题意画出图形如图所示 由题意得， 由，可设， ， 可得点 的坐标为 点在双曲线上， ， 消去 整理得， 离心率 点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利 用和转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 三、解答题三、解答题 17.已知等差数列中，且前 10 项和 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前 项和 【答案】(1)an2n1(2)Tn 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 （2）=，

8、利用“裂项求和”方法即可得出 【详解】(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d 由已知得解得 所以数列an的通项公式为 an12(n1)2n1. (2)bn， 所以. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “裂项求和”方法，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 18.某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取 50 名考生的数学成绩，分成 6 组制成频率分布直方图如图所示： （1）求 的值；并且计算这 50 名同学数学成绩的样本平均数 ； （2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出 3 位作为代表进行座谈，记成绩在 的同学人数位 ，写出 的分布列，并求出期望. 【答案】 （），（）见解析 【解析】 试题分析：（1）由 解得 ，根据各矩形中点横坐 标与纵坐标的积求和即可得到该校名学生成绩的平均值；（2）成绩在的同学人数为 ，成绩在 人数为 ， ， 的可能取值为，根据排列组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得分 布列，进而利用期望公式可得 的数学期望. 试题解析：（1）由题 解得 (2)成绩在的同学人数为 6，成绩在人数为

9、 4， ， ， 所以 的分布列为 19.如图，多面体中，是正方形，是梯形，平面且， 分别为棱的中点 （）求证：平面平面； （）求平面和平面所成锐二面角的余弦值 【答案】 （）见解析（） 【解析】 试题分析：（1）通过证明平面，所以平面平面 （2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面的法向量，求二面角的余弦值。 试题解析： （），是正方形 分别为棱的中点 平面， 平面从而 ，是中点 平面 又平面 所以，平面平面 （）由已知，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 平面的一个法向量为， 由得令，则 由（）可知平面 平面的一个法向量为 设平面和平面所成锐二面角为 ， 则 所以，平面和平面所成锐二面角的余弦值为 20.已知椭圆： 的离心率为，焦距为，抛物线： 的焦点 是椭圆 的顶点. （1）求与的标准方程； （2）上不同于 的两点 ， 满足，且直线与相切，求的面积. 【答案】 （1）（2）. 【解析】 试题分析：设椭圆的焦距为，依题意求出，由此求出椭圆的标准方程；又抛物线： 开口向上，故 是椭圆的上顶点，由此能求出抛物线的标准方程； 设直线的方程为，设，则能得到，联立 ，得 ， ；由此利用根的判别式，韦达定理，弦长公式，结合已知 条件能求出的面积 解析：（1）设椭圆的焦距为，依题意有， 解得，故椭圆的标准方程为. 又抛物线：开口向上，故 是椭圆的上顶点， ， ，故抛物线的标准方程为. （2）显然，直线的斜率存在.设直线的方程为，设，则， ， ， 即 联立，消去 整理得， . 依题意，是方程的两根， ， 将和代入得， 解得， （不合题意，应舍去） 联立，消去 整理得， 令，解得. 经检验，符合要求. 此时， ， . 点睛

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