江苏省无锡市2019届高三上学期期末考试数学试题（含解析）

1、江苏省无锡市2019届高三上学期期末考试数学试题一、填空题：1.设集合 A =xx0，B =x2x1，则 AB_【答案】x0x1【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】取集合A，B的公共部分，得：ABx0x1.故答案为：x0x1.【点睛】本题主要考查了交集的运算，属于基础题.2.设复数 z 满足 (1+ i)z = 13i（其中 i 是虚数单位），则 z 的实部为_【答案】-1【解析】【分析】由复数的除法运算得z，从而可得解.【详解】z，所以，实部为1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.3.有 A，B，C 三所学校，学生人数的比例为 3：4：5, 现用分层抽样的方法招募 n 名志愿者，若在 A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么 n =_【答案】36【解析】【分析】利用分层抽样列方程求解即可.【详解】设A，B，C三所学校学生人数为：3x，4x，5x，则总人数为：12x，所以，解得：n36.故答案为：36.【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，属于基础题.4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等

2、马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为_【答案】.【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.5.执行如图的伪代码，则输出 x 的值为_【答案】25【解析】【分析】模拟程序语言的运行过程知该程序运行后的结果.【详解】第1步：x1，x1；第2步：x2，x4；第3步：x5，x25；退出循环结果为25.故答案为：25.【点睛】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题6.已知 x，y 满足约束条件，则z = x+y 的取值范围是_【答案】0,3【解析】【分析】画出可行域，平移目

3、标函数即可得范围.【详解】不等式组表示的平面区域如下图，当目标函数z = x+y 经过点O（0,0）时，取到最小值为：0经过点A（1,2）时，取到最大值：3，所以，z = x+y 的范围为0,3故答案为：0,3.【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.在四边形 ABCD 中，已知 ，其中，是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是_【答案】梯形【解析】【分析】利用向量的加法运算得，从而得四边形ABCD是梯形.【详解】.所以，即ADBC，且AD2BC所以，四边形ABCD是梯形.故答案为：梯形.【点睛】本题主要考查了向量的加法运算与向量的共线关系，属于基础题.8.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是_【答案】【解析】【分析】先求出双曲线的焦点坐标进而得抛物线的焦点坐标，即可得抛物线方程.【详解】双曲线中，c

4、3，所以，右焦点为F（3,0），抛物线的焦点也为（3,0），所以，p6，抛物线的标准方程为：故答案为：.【点睛】本题主要考查了双曲线的焦点坐标及抛物线的焦点坐标的求解，属于基础题.9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6，则该圆锥的体积等于_【答案】【解析】【分析】分别求得底面积和高，利用圆锥的体积公式求解即可.【详解】设圆锥的底面半径为R，因为轴截面是等边三角形，所以母线长为2R，高为，侧面积S，解得：R，所以，圆锥的体积为：V3.故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆锥的体积的计算，属于基础题.10.设公差不为零的等差数列 满足 a37，且 a11，a21，a41 成等比数列，则 a10 等于_【答案】21【解析】【分析】由a11，a21，a41 成等比数列，列方程可得公差d，从而得解.【详解】依题意，有：（a21）2（a11）（a41），即，即：，化为：0，因为公差不为0，所以，d2，7+1421故答案为：21.【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本量运算，属于基础题.11.已知是第四象限角，且 cos，那么的值为_【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系得sin

5、，利用两角和公式及二倍角公式化简求解即可.【详解】依题意，有：sin，故答案为：.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基础题.12.已知直线ya(x+2)(a 0) 与函数 y cosx的图像恰有四个公共点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4), 其中 x1 x2 x3 x4，则x4_【答案】-2【解析】【分析】利用数形结合可得直线与余弦函数图象在处相切，且，利用相切得a，利用公共点得a，从而得，进而得解.【详解】直线ya(x+2)过定点（2,0），如下图所示，由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且，即a(x4+2)cos，所以，a又，即直线的斜率为：a，因此a，即22.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，着重考查了学生的数形结合能力，属于难题.13.已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(ya+2)2 1 上， A，B 为圆 C： x2 +(y-4)2 4 上两动点，且 AB 2, 则 的最小值是_【答案】【解析】【分析】取AB的中点D，进而只需求PD最小即可，由C、D、P、M在一

6、条直线上时即可得解.【详解】取AB的中点D，因为AB 2，R2，CD1，所以，.C（0,4），M（a，a2）当C、D、P、M在一条直线上时，PD最小，此时，PDCMCDPM所以，1912，当a3时取到最小值1912.故答案为：.【点睛】本题主要考查了数量积的运算及与圆有关的最值问题，着重考查了数形结合的思想，属于中档题.14.在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】如图，作BDAC于D，设ADx，CDy，BDh，由条件利用正弦定理及勾股定理可得x3y，再由几何关系表示正切值得，从而得解.【详解】由正弦定理，得：，如图，作BDAC于D，设ADx，CDy，BDh，因为，所以，化简，得：，解得：x3y， ，当且仅当时取得最小值.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角形中的正弦定理及勾股定理，两角和的正切公式，利用基本不等式求最值，着重考查了数形结合的思想及转化与化归的能力，属于难题.二、 解答题：15.在 ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 = (a，sinCsinB)，= (b +

7、 c，sinA + sinB)，且(1) 求角 C 的大小(2) 若 c = 3, 求 ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将正弦化为边，进而利用余弦定理，即可得解；（2）由正弦定理得，从而得ABC 的周长为：a+ bc，结合的范围即可得解.【详解】（1）由，得：a（sinA + sinB）（b + c）（sinCsinB）由正弦定理，得：a（a+ b）（b + c）（cb）化为：a2b2c2ab，由余弦定理，得：cosC，所以，C（2）因为C，所以，BA，由B0，得：0A，由正弦定理，得：，ABC 的周长为：a+ bc，由0A，得：，所以，周长C.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用及三角函数的值域问题，属于中档题.16.在四棱锥 P - ABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，ABAD，ABBC。(1) 求证：BC平面 PAD；(2) 平面 PAD 平面 ABCD【答案】（1）见解析； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由ABAD，ABBC可得BCAD，从而得证；（2）作DEPA于E，可证DE平面PAB，进

8、而可证AB平面PAD，即可证得.【详解】（1）四边形ABCD中，因为ABAD，ABBC，所以，BCAD，BC在平面PAD外，所以，BC平面PAD（2）作DEPA于E，因为平面PAD平面PAB，而平面PAD平面PABPA，所以，DE平面PAB，所以，DEAB，又ADAB，DEADD所以，AB平面PAD，AB在平面ABCD内所以，平面PAD平面ABCD.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明及面面垂直的证明，属于基础题.17.十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫. 现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作. 经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水果种植， 2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数. 从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（ x Z，1 x 9) 从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 (3x) 万元（参考数据： 1.13 = 1.331，1.153 1.521，1.23 = 1.728).(1) 至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至 2018 年底，该村每户年均纯收人能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由。【答案】（1）至少抽出20户从事包装、销售工作； （2）当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能。.【解析】【分析】（1）根据条件列不等式，利用参考数据求解即可；（2）根据条件列不等式，可得当从事包装、销售的户数达到20至30户时，

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