浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考数学试题（解析版）

1、浙南名校联盟（温州九校）浙南名校联盟（温州九校）20192019 届高三上学期期末联考届高三上学期期末联考 数学试题数学试题 考生须知：考生须知： 1.1.本卷共本卷共 4 4 页，满分页，满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟；分钟； 2.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.4.考试结束后，只需上交答题纸。考试结束后，只需上交答题纸。 一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由不等式得出集合 ，再由交集的运算即可求出结果. 【详解】由得，即， 所以. 故选 A 【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记定义即可，属于基础题型. 2.双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C.

2、 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲的标准方程求出，进而可求出 ，然后即可求出焦点坐标. 【详解】由可得，焦点在 轴上，所以，因此 所以焦点坐标为； 故选 B 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程，由标准方程可求出，并确定焦点位置，从而可 得结果，属于基础题型. 3.设实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，再令，化目标函数为，由直线在 y 轴的截距的范围确定目 标函数的最值即可. 【详解】由约束条件作出可行与如图，令，则，因此求的最小值，即是求直线 在 y 轴截距的最大值，由图中虚线可知，当虚线过点（0,1）时，直线截距最大，即 .故选 C 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件 作出可行域，再化目标函数为直线的斜截式方程即可求解，属于基础题型. 4.若复数，其中 是虚数单位，则的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式 即可求解. 【详解】由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对

3、应的点为， 所以，其中 ， 故选 C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值 即可，属于基础题型. 5.函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由正弦函数确定函数值域的大致范围，以及特殊值验证即可判断. 【详解】因为时，所以；当时，所以；故排除 A、C 选 项；又，即，所以排除 D，故选 B 【点睛】本题主要考查函数的图像，特殊值法在处理函数图像中非常实用，属于基础题型. 6.已知 ，则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由充分条件与必要条件的定义即可判断出结果. 【详解】令，若，则，即，即，故是的 充分条件； 又，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以 时，不一定能推出； 综上，是的充分不必要条件. 故选 A 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，结合函数的性质即可判断出结果，属于常考题型. 7.甲、乙二人均从 5 种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了 3 种不同食品的情况

4、有( ) A. 84 种 B. 100 种 C. 120 种 D. 150 种 【答案】C 【解析】 【分析】 由分步乘法计数原理先由 5 种食物中选择 3 种，共种情况; 第二步，将 3 种食物编号，用列举法列举所有情况即可； 【详解】由分步乘法计数原理：第一步：由 5 种食物中选择 3 种，共种情况； 第二步：将 3 种食物编号为 A,B,C，则甲乙选择的食物的情况有：， ， ，共 12 种情况， 因此他们一共吃到了 3 种不同食品的情况有种. 故选 C 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型. 8.已知随机变量 的分布列如下表： X-101 Pabc 其中.若 的方差对所有都成立，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先由分布列求出方差，再结合题意列不等式求解即可. 【详解】由 的分布列可得： 的期望为， 所以 的方差 ， 因为 所以当且仅当时，取最大值， 又对所有都成立，所以只需，解得，所以. 故选 D 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的方差，根据不等式的最值，即可求参数的范围，属于中档题型. 9.如图，

5、在三棱柱中，点 在平面内运动，使得二面角的平面角与二面角 的平面角互余，则点 的轨迹是( ) A. 一段圆弧 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线 D. 双曲线的一支 【答案】D 【解析】 【分析】 将三棱柱特殊化，看作底面以 为直角的直角三角形，侧棱与底面垂直，然后设出点 的坐标，作出点 Q 在 下底面的投影，由对称性知：点 P 与点 Q 的轨迹一致，研究点 Q 的轨迹即可. 【详解】不妨令三棱柱为直三棱柱，且底面是以 为直角的直角三角形，令侧棱长为 m,以 B 的为坐标原点，BA 方向为 x 轴，BC 方向为 y 轴，方向为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设，所以，过点 作以于点 ，作于点 ， 则即是二面角的平面角，即是二面角的平面角， 所以， 又二面角的平面角与二面角的平面角互余，所以，即， 所以，因，所以, 所以有，所以，即点 Q 的轨迹是双曲线的一支，所以点 的轨迹是双曲线的一支.故选 D 【点睛】本题主要考查立体几何的综合应用，特殊值法是选择题中非常实用的一种作法，用特殊值法求出 点的坐标之间的关系式，即可判断出结果，属于中档试题. 10.设是方程的两个不等实根，记.下列两个命

6、题： 数列的任意一项都是正整数； 数列第 5 项为 10. ( ) A. 正确，错误 B. 错误，正确 C. 都正确 D. 都错误 【答案】A 【解析】 【分析】 先由方程求出之间的关系，进而可得 的特征，由数列递推式即可判断出结果. 【详解】因为是方程的两个不等实根，所以1， 因为， 所以 ，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和， 又1，所以，以此 类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故正确；错误；因此选 A 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，根据方程与数列的结合，由方程的根确定数列的递推式及数列的前 几项，进而判断出结果，属于中档试题. 二、填空题。二、填空题。 11.九章算术中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其 意思是“若干个人合买一头猪，若每人出 100，则会剩下 100；若每人出 90，则不多也不少。问人数、猪 价各多少？”.设分别为人数、猪价，则_，_. 【答案】 (1). 10 (2). 900 【解析】 【分析】 由题意列出方程组，求解即可. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为 10 900 【点睛】本题主要考查

7、二元一次方程组的解法，用消元法来求解即可，属于基础题型. 12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_，表面积为_. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由三视图先得到该三棱锥的底面是等腰直角三角形，且斜边长为 2，棱锥的高为 1，再由棱锥的表面积公 式和体积公式即可求解. 【详解】由三视图可知该三棱锥的底面是等腰直角三角形，且斜边长为 2，棱锥的高为 1，所以底面直角 边的边长为， 所以该三棱锥的体积为； 表面积为. 故答案为：体积 ；表面积 【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积与表面积，先由三视图确定几何体的形状，再由 表面积和体积公式即可求解，属于基础题型. 13.在中，内角所对的边分别是.若，则_，面积的最大值为 _. 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 【分析】 由正弦定理，结合，可求出 ；由三角形面积公式以及角 A 的范围,即可求出面积的最大 值. 【详解】因为，所以由正弦定理可得，所以; 所以，当，即时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，

8、属于基础题型. 14.实数满足：对任意，都有则 =_， _. 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 【分析】 由二项展开式可直接求出各项的系数，即可求出，进而可求出结果. 【详解】由二项展开式可得 ， 所以， 故. 故答案为(1). 1 (2). 【点睛】本题主要考查二项式定理，由二项展开式可求出每一项的系数，进而可求出结果，属于基础题型. 15.已知抛物线的焦点为 .若抛物线上存在点 ,使得线段的中点的横坐标为 ，则_. 【答案】2 【解析】 【分析】 先由的中点的横坐标为 ，结合 点坐标，求出点 的横坐标，进而可求出结果. 【详解】由题意，设，因为的中点的横坐标为 ，所以,即， 因为抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，所以. 故答案为 2 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单性质，属于基础题型. 16.若向量满足，且，则的最小值是_. 【答案】 【解析】 【分析】 设，由确定点 C 的轨迹，再设, ，由取得最大值时，即可求出最小值. 【详解】 设，由可知，所以点 C 在以 AB 为直径的圆上； 设,，则， 而表示点 O 到以 AB 为直径的圆上任一点的距离， 所以最

9、大值即是点 O 到圆心 E 的距离加半径，即， 所以，即最小值为 2.故答案为 2. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，以及圆外一点到圆上任意一点距离的最大值的求法，常需要结 合图像求解，属于中档试题. 17.已知函数在开区间上单调递减，则的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数在区间上单调递减，得到其导函数小于等于 0 恒成立，即且代入得到一个不等 式组，可以把视为不等式组内的点与原点距离的平方，结合图像即可求解. 【详解】 由题意，在恒成立. 只需要即可，整理得，作出其对应的平面区域如图所示； 所以把视为平面区域内的点与原点距离的平方， 由点到直线的距离公式可得，所以的最小值为 ， 则的取值范围是. 故答案为 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，需要依题意写出约束条件，作出可行域，再由目标函数的几 何意义即可求解，属于中档试题. 三、解答题。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。三、解答题。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（I）证明：； （II）求函数的最小正周期与单调递增区间. 【答案】 （）见证明；（） 【解析】 【分析】 （I）由两角和与差的正弦公式求和即可得出结论成立； （II）先将函数整理成正弦型复合函数的形式，再根据正弦函数的周期和递增区间即可求出结果. 【详解】 （I）证明：对任意， ， 两式相加，得 ， 即； （II）由（I） ， 即. 故的最小正周期 令，得， 故的单调递增区间是. 【点睛】本题第一问主要考查三角恒等变换，需要考生熟记两角和与差的正弦公式；第二问主要考查三角 函数的图像与性质，需要考生灵活掌握三角函数的周期与单调性，属于常考题型. 19.在三棱台中，是等边三角形，二面角的平面角为，. （I）求证：； （II）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （）见证明；（） 【解析】 【分析】 （I）先由线面垂直的判定定理证明平面，进而可得； （II）可以在几何体中作出直线与平面所成的角，解

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