湖南省岳阳市2019届高三教学质量检测一（一模）数学（理）试题（解析版）

1、湖南省岳阳市湖南省岳阳市 2019 届高三教学质量检测一（一模）数学届高三教学质量检测一（一模）数学 （理）试题（解析版）（理）试题（解析版） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.设集合，则 = |4 2 4 ， = | 0 = | 4 = (4, + ) 故选：C 先分别求出集合 A 职和 B，由此能求出 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 2.设 i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数 a 的值为 1 + () A. 1B. C. D. 1 1 2 2 【答案】A 【解析】解：为纯虚数， 1 + = ( )(1 ) (1 + )(1 ) = 1 ( + 1) 2 ，解得： 1 = 0 + 1 0 ? = 1 故选：A 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3.下列三个命题： 是的充分不必要条件； 2 1 2 2 1 + 2) = 【答案】0.259 【解析】解：随机变量 服从正态分布 ：， (,2) ， ( 2

2、 + 2) = 2( 2 + 2) = 1 21 ( 2 + 2) = 1 2(1 0.482) = 0.259 故答案为： 0.259 根据正态分布的对称性计算，从而得出 ( 2 + 2)( + 2) 本题考查了正态分布的性质，属于中档题 14. 若实数 x，y 满足，则目标函数的最小值为_ 2 0 2 0 8 0 ? = 3 + 2 【答案】7 【解析】解：实数 x，y 满足 ，可得可行域如图： 2 0 2 0 8 0 ? 由得， = 3 + 2 = 3 2 + 2 作出不等式组对应的平面区域如图 阴影 ( 部分 ： ) 平移直线由图象可知当直线 = 3 2 + 2 经过点 C 时，直线 = 3 2 + 2 的截距最小， = 3 2 + 2 此时 z 也最小，将代入目标函数， (1,2) = 3 + 2 得 = 7 故答案为：7 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利 用数形结合是解决问题的基本方法 15. 如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，A，B 分别是，在 12 ： 2 4 +

3、 2= 1 212 第二、四象限的公共点 若四边形为矩形，则的虚轴长为_ . 122 【答案】2 【解析】解：设，点 A 为椭圆：上的点， |1| = |2| = 1 2 4 + 2= 1 ， 2 = 4 = 1 = 3 ，即， |1| + |2| = 2 = 4 + = 4 又四边形为矩形， 12 ，即， |1|2+ |2|2= |12|2 2+ 2= (2)2= (2 3)2= 12 由得：，解得， + = 4 2+ 2= 12 ? = 2 2 = 2 + 2 设双曲线的实轴长为 2m，焦距为 2n， 2 则， 2 = |2| |1| = = 2 2 2 = 2 = 2 3 ， = 2 = 3 则的虚轴长为 22 2 2= 2 故答案为：2 不妨设，可得，解此方程组可求得 x，y 的值，利用 |1| = |2| = + = 4 2+ 2= 12 ? 双曲线的定义及性质即可求得的虚轴长 2 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得与是关键，考查分析与运算能力， |1|2| 属于中档题 16. 曲线在处的切线斜率为，则数列的前 n 项的和 = 2 + ( ) = 2 1 + 1 为_ 【答

4、案】 + 1 【解析】解：曲线， = 2 + ( ) 可得：， = 2 + 1 曲线在处的切线斜率为， = 2 + ( ) = 2 可得： = 2 + 1 2 = 则数列的前 n 项的和为： 1 + 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 + 1 = + 1 故答案为： + 1 利用函数的导数，求出切线的斜率，得到，然后求解数列的和即可 本题考查数列与函数相结合，数列求和以及函数的导数的应用，考查转化思想以及计 算能力 三、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0 分） 17. 在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，己知 + = 2 求 B 的值； (1) 若，求 b 的取值范围 (2) + = 第 10 页，共 15 页 【答案】 本题满分为 12 分 () 解：由以及正弦定理可知， (1) + = 2 ， + = 2 即分 ( + ) = 23 因为， + + = 所以， ( + ) = 0 所以 = 1 2 分 (0,) = 36 ， (2) + = 1 = 1 2 由余弦定理，可得：，分 2= 2+ 2 2 2= 3( 1 2) 2 + 1 49 又，

5、0 = | | = 4 21 1 = 4 21 21 二面角 CEMN 的余弦值为，则正弦值为 4 21 21 105 21 【解析】取 AB 中点 F，连接 MF、NF，由已知可证平面 BDE，平面 (1)/ 得到平面平面 BDE，则平面 BDE； ./ 由底面 ABC，可以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 (2) = 90 . x、y、z 轴建立空间直角坐标系 求出平面 MEN 与平面 CME 的一个法向量，由两法向 . 量所成角的余弦值得二面角 CEMN 的余弦值，进一步求得正弦值 本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力， 是中档题 19. 如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示 空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染 某人随机选择 3 月 1 日 . 至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天 求此人到达当日空气重度污染的概率 (1) 设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望 (2) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质

6、量指数方差最大 结论不要求证明 ？ (3)() 【答案】解：设表示事件“此人于 3 月 i 日到达城市”2， ， (1) ( = 1,13) 根据题意，且 () = 1 13 = ( ) 第 12 页，共 15 页 设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 = 5 8 所以 () = (5 8) = (5) + (8) = 2 13 由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2， (2) ， ( = 1) = (3 6 7 11)= (3) + (6) + (7) + (11) = 4 13 ， ( = 2) = (1 2 12 13)= (1) + (2) + (12) + (13) = 4 13 ( = 0) = 1 ( = 1) ( = 2) = 5 13 所以 X 的分布列为 X012 P 5 13 4 13 4 13 故 X 的期望 () = 0 5 13 + 1 4 13 + 2 4 13 = 12 13 从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 (3) 【解析】设表示事件“此人于 3 月 i 日到达城市”2， ，根据题意， (1) ( = 1,13).

7、，且设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 () = 1 13 = ( ). 由此利用互斥事件概率加法公式能求出此人到达当日空气重度污染的概 = 5 8. 率 由题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X (2) 的分布列和期望 () 从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 (3) 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查 互找麻斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化 归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 20. 已知椭圆的 C：的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上且经过 2 2 + 2 2 = 1( 0, 0) 点，离心率为 (1, 3 2) 3 2 求椭圆 C 的方程； (1) 直线 l 经过点且与椭圆交于 A，B 两点，若，求直线 l 的方 (2)( 1,0) = 2 程 【答案】解：设椭圆 C 的焦距为，则，设，则， (1)2( 0) = 3 2 = 3( 0) = 2 ， = 2 2= 则椭圆 C 的方程为， 2 42 + 2 2 = 1 将点 P 的坐标代入椭圆 C 的方程得，得， 1 42 + ( 3 2) 2 2 = 1 2 = 1 = 1 所以， = 2 = 2 = = 1 因此，椭圆 C 的方程为； 2 4 + 2= 1

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