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2019高考数学中档解答题(二)

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1、中档解答题(二)1.设等比数列an的前n项和为Sn,公比q0,S2=4,a3-a2=6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3an+1,数列bn的前n项和为Tn,求证:1T1+1T2+1Tn0,q=3,a1=1,an=13n-1=3n-1,即数列an的通项公式为an=3n-1.(2)证明:由(1)知bn=log3an+1=log33n=n,b1=1,bn+1-bn=n+1-n=1,数列bn是首项b1=1,公差d=1的等差数列,Tn=n(n+1)2,则1Tn=2n(n+1)=21n-1n+1,1T1+1T2+1Tn=211-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+12,1T1+1T2+1Tn2.2.解析(1)f(x)=sin2x-6+2cos2x-1=32sin 2x-12cos 2x+cos 2x=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+6.令-2+2k2x+62k+2(kZ),解得-3+kxk+6(kZ),所以函数的单调递增区间为-3+k,k+6(kZ),把函数f(x)=sin2x+6的图象上的所有点向右平移12个单位,就可得到g(x)=sin 2x的图象.

2、(2)f(A)=12,sin2A+6=12.又0A,62A+6136,2A+6=56,故A=3.在ABC中,a=1,b+c=2,A=3,1=b2+c2-2bccos A,即1=4-3bc,bc=1,SABC=12bcsin A=34.3.解析(1)由题意知(0.004+0.012+0.024+0.040+0.012+m)10=1,解得m=0.008,则x=950.00410+1050.01210+1150.02410+1250.04010+1350.01210+1450.00810=121.8(分).(2)成绩在130,140)内的同学人数为6,在140,150内的同学人数为4,从而的所有可能取值为0,1,2,3,P(=0)=C40C63C103=16,P(=1)=C41C62C103=12,P(=2)=C42C61C103=310,P(=3)=C43C60C103=130,所以的分布列为0123P1612310130E=016+112+2310+3130=65.4.解析(1)证明:如图,取AE的中点O,连接PO,OB,BE.在平面图形中,易知四边形ABED为正方形,所以在立体图形中,

3、PAE,BAE为等腰直角三角形,所以POAE,OBAE,PO=OB=2,因为PB=2,所以PO2+OB2=PB2,所以POOB,又AEOB=O,所以PO平面ABCE,因为PO平面PAE,所以平面PAE平面ABCE.(2)由(1)知,OB,OE,OP两两垂直,以O为坐标原点,以OB,OE,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则O(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,0),C(2,22,0),所以PB=(2,0,-2),EP=(0,-2,2),EC=(2,2,0).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则nEP=0,nEC=0,即-2y+2z=0,2x+2y=0,令x=1,得y=-1,z=-1,故平面PCE的一个法向量为n=(1,-1,-1).所以cos=PBn|PB|n|=2223=63,所以直线PB和平面PCE所成角的正弦值为63.5.解析(1)圆C的普通方程是x2+(y-3)2=3,因为x=cos ,y=sin ,所以圆C的极坐标方程是(cos )2+(sin -3)2=3,化简得=23sin .(2)设(1,1)为点P的极坐标,则有1=23sin 1,1=3,解得1=3,设(2,2)为点Q的极坐标,则有2(sin 2+3cos 2)=3,2=3,解得2=1,由于1=2,所以|PQ|=|1-2|=2,所以线段PQ的长为2.6.解析(1)因为f(x)=|x-1|-|2x+1|,所以f(x)=x+2,x-12,-3x,-12x1,-x-2,x1,画出图象如图.(2)由(1)可知m=32.因为32=m=a2+2c2+3b2=(a2+b2)+2(c2+b2)2ab+4bc,所以ab+2bc34,当且仅当a=b=c=12时,等号成立.所以ab+2bc的最大值为34.

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