专题1 第4讲

1、第4讲 导数与函数的单调性、极值、 最值问题,高考定位 利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.,真 题 感 悟,1.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为( ) A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 解析 f(x)x2(a2)xa1ex1， 则f(2)42(a2)a1e30a1， 则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1， 令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0， 当2x1时，f(x)0，则f(x)极小值为f(1)1. 答案 A,2.(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.,答案 1ln 2,3.(2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)0，求a的取值范围.,1.导数的几何意义 函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在

2、点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.,考 点 整 合,3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0. f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. 若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0. 若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.,4.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取

3、得极值的必要而不充分条件.,热点一 导数与定积分的几何意义 【例1】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.,探究提高 1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.,答案 (1)C (2)1,热点二 利用导数研究函数的单调性 命题角度1 确定函数的单调性(区间),探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f(x)0或f(x)0. (2)对k分类讨论不全，题目中已知k0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确，讨

4、论不全面.,【迁移探究1】 若将本例中的条件“k0”变为“k0”，其他条件不变，f(x)在(0，2)上的单调性如何？,【迁移探究2】 在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，)，其他条件不变，求函数f(x)的单调区间.,探究提高 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围. 2.若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.,【训练2】 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数). (1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围； (3)函数f(x)是否为R上的单调减函数？若是，求出a的取值范围？若不是，请说明理由.,(2)因为函数f(x)在(1，1)上单调递增， 所以f(x)0对x(1，1)都成立. 因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex， 所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.

5、 因为ex0，所以x2(a2)xa0，,(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立. 因为ex0，所以x2(a2)xa0对xR都成立. 所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的. 故函数f(x)不可能在R上单调递减.,热点三 利用导数研究函数的极值和最值 命题角度1 求函数的极值、最值,解 (1)f(x)excos xx，f(0)1， f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0， yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y10(x0)，即y1.,命题角度2 与函数极值点个数有关问题 【例32】 (2017绵阳诊断)已知aR，函数f(x)aexx1，g(x)xln(x1)(e2.718 28是自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)极值点的个数； (2)若a1，且命题“x0，)，f(x)kg(x)”是真命题，求实数k的取值范围.,解 (1)因为f(x)aexx1，所以f(x)aex1， 当a0时，对xR，f(x)aex10时，令f(x)0，解得xln a.,若x(，ln a)，则f(x)0，所以f(x)在(ln a，

6、)上是增函数. 当xln a时，f(x)取得极小值为f(ln a)ln a， 函数f(x)有且仅有一个极小值点xln a. 所以当a0时，f(x)没有极值点，当a0时，f(x)有1个极小值点. (2)命题“x0，)，f(x)kg(x)”是真命题，即不等式f(x)kg(x)在区间0，)内有解. 若a1，则设F(x)f(x)kg(x)exkln(x1)(k1)x1，,当k1时，h(x)0，所以h(x)在0，)上是增函数， h(x)h(0)0，即F(x)0，所以F(x)在0，)上是增函数， 所以F(x)F(0)0，即f(x)kg(x)在0，)内无解.,所以h(x)在(0，k1)上存在唯一零点x0， 当x0，x0)时，h(x)h(x0)0，h(x)在0，x0)上单调递减， 从而h(x)h(0)0，即F(x)0，所以F(x)在0，x0)上单调递减， 所以当x(0，x0)时，F(x)F(0)0，即f(x)kg(x). 所以不等式f(x)kg(x)在区间0，)内有解. 综上所述，实数k的取值范围为(1，).,探究提高 1.求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右附

7、近函数值的符号. 2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解. 3.求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.,1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开. 2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.,3.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.,4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论. 5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值；也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.,

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