2018届中考数学复习《再谈勾股定理的应用》专题训练题及答案

1、 再谈勾股定理的应用再谈勾股定理的应用 在数学解题中，当题中出现直角三角形(或可构造出直角三角形)时，往往可以运用勾股定理求解. 本文从近年各地数学竞赛题中选取一些典型试题，介绍勾股定理在求解竞赛题中的应用. 题 1 (2010 年全国联赛试题)在等腰直角中，是内一ABC5ABBCPABC 点，且，则 .5PA 5PC PB 解析 如图 1，过作，.设，在直角和直角PPEABPFBCPExPFyPEA 中，由勾股定理，可得PFC 22 22 (5)5 (5)25 xy xy 由，得,10()20yx ，2xy 代入(1)得， 2 7120yy 解得，. 1 3y 2 4y 当时，3y 21xy 在直角中，由勾股定理，可得PEB . 22 10PBxy 当时，4y 22xy 此时，PEAE 点在之外了，不合题意，舍去.PABC .10PB 点评 本解法先根据题意画出图形，再作辅助线构造出新的直角三角形，然后运用勾股定理得解. 题 2 (2008 年浙江初赛试题)如图 2，与的斜边切于点，与直角边交于ORt ABCABDAC 点，且，已知，则的半径是( )E/DEBC2 2AE 3 2AC

2、 6BC O (A) (B) (C) (D) 来源:学科网 ZXXK344 32 3 来源:学科网 ZXXK 解析 连，过作，在中，由勾股定理，得ODOOFEDRt ABC . 22 (3 2)63 6AB ，/DEBC ， EDAE BCAC . 2 26 4 3 2 DE 又，OFED . 1 2 2 DFDE ，ODFABC: ， ODDF ABAC ， 2 3 62 3 3 2 OD 选 D. 点评 本解法首先运用勾股定理，求得的长，然后再运用平行线分线段成此例定理与相似三AB 角形性质，可得半径的长.OD 题 3 (2006 年江苏初三竞赛试题)如图 3，四边形的对角线与相互垂直.若，ABCDACBD3AB ，则的长为( )4BC 5CD AD (A) (B) (C) (D) 3 242 34 2 解析 如图 3，设.,OAa OBb OCc ODd 由勾股定理，可得 222 222 222 222 3 4 5 ab bc cd daAD 由，得， 22 7ac 由、，得， 222 22 5 7 cd ac 两式相加，得， 22 18ad ， 2 18AD .183 2AD

3、选 A. 点评本解法通过设辅助未知数、，由勾股定理建立关于、的方程组，求abcdabcd 得的值，从而得到的长. 22 adAD 题 4 (2005 年五羊杯初三竞赛试题)如图 4，在中，ABC ，则的面积等于 .135BACADBC4BD 6DC ABC 解析 延长，过点作.CABBECE ，135BAC .45BAE 设，则，BExAEBEx 由勾股定理，得 ， 2222 2ABAEBEx ， 2222 216ADABBDx ; 2 216ADx 同理可得 . 222 220ACADDCx 由，Rt ADCRt BEC: 得， ADBE ACBC ， 2 2 216 10 220 xx x 化简得， 42 908000xx ， 22 (80)(10)0xx 解得. 12 4 5,10xx 当，4 5x 24 1010ABx 即，ABBC 不合题意，舍去; 当时，10x ，符合题意，22 510ABx 此时. 2 2162ADx . 11 10 210 22 ABC SBC AD g 点评 由，容易想到延长(延长也可)，得，再构造，135BACCABA45BAERt BEA 运用勾股

4、定理、相似三角形性质求得的长.这一求解方法易于理解，而且计算也并不复杂.AD 题 5 (2003 年全国联合竞赛试题)已知直角的周长为 4，面积为 7，试求它的三边之长.ABC 解析 设的三边之长分别为、，其中为斜边.由题意，得ABCabcc 222 + 1 7 2 14 abc ab abc 由得，14abc 把两边平方，得 . 222 219628aabbcc 由，得，98 14abc 把代入，得 ，1498 14c ，6c ，8,14abab 以、为根的一元二次方程为，ab 2 8140xx 解得. 12 42,42xx 这个直角三角形之三边长分别为.42,42,6 点评 本题表述简洁，通过设三边长分别为、，由勾股定理、面积关系、周长关系建立起abc 关于、的方程组，并对等式变换，可计算出三边之长.abc 题 6 (2004 年江苏竞赛试题)如图 5，在中，.若、上的ABC,BCa ACb ABcACBC 中线、垂直相交于，则可用、的代数式表示为 .BEADOcab 解析 、是的中线，BEADABC 为的重心.OABC 由重心定理，得.来源:学科网2,2OAOD OBOE 设，,

5、ODx OEy 则.2 ,2OAx OBy 在、中，由勾股定理，得Rt AOBRt AOERt BOD 222 222 222 1 4() 2 44 1 4() 2 xyb xyc xya 由+，得， 2222 11 5+5=+ 44 xyab ， 2222 1 +=+ 20 xyab（） ， 222 44xyc 222 1 =4+ 20 cab（） ， 22 1 =+ 5 ab（） . 2222 11 =+5+5 55 cabab（） 点评 本解法运用三角形重心定理与直角三角形勾股定理，建立相应的方程组，从而巧妙地把几 何问题转化为代数问题了. 题 7 (2006 年山东竞赛试题)如图 6，在中，是的Rt ABC90C2,BCAC ADBAC 平分线.求证:.25ABBDAC 证明 设，则，来源:Zxxk.ComACx2BCx 由勾股定理，得， 2222 5ABBCACx .5ABx 平分，ADBAC 由三角形内角平分线定理，得， ABBD ACDC ， 5 2 xBD xxBD 解得. 2 555 215 xxx BD ，25555ABBDxxxx .来源:学_科_网25ABBDAC 点评 本解法由题意设辅助未知数，由勾股定理、三角形内角平分线性质定理把边长、xAB 数量化(即用含的代数式表示)，这样可简捷证出结果.BDx 题 8 (2006 年上海币新知杯试题)如图 7，四边形为直角梯形()，且ABCD90BC .若在边上存在一点，使得为等边三角形，则的值为 .ABBCBCMAMD CD AB 解析 设.,ABBCa AMMDADx CDy 由勾股定理，得 ， 2222 CMDMDCxy ， 2222 BMAMABxa . 2222 BCCMBMxyxaa 过点作，在中，DDHABRt AHD ，,ADx DHBCa AHay 由勾股定理，得 . 222 ()aayx 由得， 222 ()xaay . 222 22xyaay ，0xy . 2 220,0aayay 代入得， 2 22ayaaya ， 2 22aayy . 22 220yaya 解这个方程并取得正根，得 ，( 31)ya . ( 31) 31 CDya ABaa 点评本解法运用设辅助未知数的方法，由勾股定理得到关于、的两个方程，经变形、代axy 换，求出之值. CD AB

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