2018届中考数学复习《二次函数的综合问题》专题训练题及答案

1、 二次函数的综合问题 例例1。如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于 2 11 (1) 444 b yxbx 点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C （1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是 以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由 ； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意 两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在 ，请说明理由 图1 例例2。2014年苏州市中考第年苏州市中考第29题题 如图1，二次函数ya(x22mx3m2)（其中a、m是常数，且a0，m0）的图像与x轴 分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，点D在二次函数的图像上，CD /AB，联结AD过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分DAE （1）用含m的式子表示a； （2）求证：为定值； AD AE （3）设该二次函数的图

2、像的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF， 以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足 要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 图1 练习练习1、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交 2 13 4 42 yxx 于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点 P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q （1）求点A、B、C的坐标； （2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四 边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由； （3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直 接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 图1 练习练习2、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 2 33 3 84 yxx 于点C （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积

3、等于ACB的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的 解析式 图1 练习练习3（2015苏州）如图，已知二次函数（其中0m1）的图像与x 2 1yxm xm 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l设P为对称轴l上的点 ，连接PA、PC，PA=PC （1）ABC的度数为 ； （2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与PA C相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请 说明理由 练习练习4（2016苏州）如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线:33l yx xy 经过点B 2 24(0)yaxaxaa (1)求该地物线的函数表达式； (2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM设点M的横坐 标为，ABM的面积为S求S与的函数表达式，并求出S的最大值；mm (3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应

4、的位置记为点. M 写出点的坐标； M 将直线 绕点A按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转在l l l AM 旋转过程中，直线与线段交于点C设点B、到直线的距离分别为 l BM M l 、，当最大时，求直线旋转的角度（即BAC的度数） 1 d 2 d 12 dd l 练习练习5（2017苏州）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC点D在函数图象上，CDx轴，且CD=2，直线l是抛物 线的对称轴，E是抛物线的顶点 （1）求b、c的值； y x O P C BA l （第27题） （2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标 ； （3）如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N 试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？ 如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由 参考答案：参考答案： 例1。 思路点拨思路点拨 1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等 2联结OP，把四边形PC

5、OB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最 大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上 满分解答满分解答 （1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, ) 4 b （2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC 因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3，联结OP 所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b 115 2428 b xb xbx 解得所以点P的坐标为() 16 5 x 16 16 , 55 图2 图3 （3）由，得A(1, 0)，OA1 2 111 (1)(1)() 4444 b yxbxxxb 如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA 当，即时，BQAQOA BAQA QAOA 2 QABA OA 所以解得所以符合题意的点Q为() 2 ( )1 4 b b84 3b 1,23 如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。 因此OCQQOA当时，BQAQOA此时OQB90 BAQA QAOA 所以C、Q、B三点共线因

6、此，即解得此时Q(1,4) BOQA COOA 1 4 bQA b 4QA 图4 图5 考点伸展考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与Q OC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确 定点B的位置 如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？ 如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾 例2。 思路点拨思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后， 点D的坐标也可以写出来点E的纵坐标为定值是算出来的 2在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到 2 1 a m 2 1am 3注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作A D的平行线与x轴的交点，就是要求的点G 满分解答满分解答 （1）将C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此 2 1 a m （2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)2

7、4axm2a(xm)24， 得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m, 4)，对称轴为直线xm 所以点D的坐标为(2m,3)设点E的坐标为(x, a(xm)(x3m) 如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E 由于EAEDAD，所以因此 EEDD AEAD ()(3 )3 3 a xm xm xmm 所以am(x3m)1结合，于是得到x4m 2 1 a m 当x4m时，ya(xm)(x3m)5am25所以点E的坐标为(4m, 5) 所以 3 5 ADDD AEEE 图2 图3 （3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)， 可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3 那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G来源:学科网来源:学#科#网Z#X#X#K 证明如下：作FFx轴于F，那么 4 3 GFFF ADDD 因此所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形 534 AEADGF 此时GF4m所以GO3m，点G的坐标为(3m, 0) 考点伸展考点伸展 第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边此时 5334 AE

8、ADGF 因此所以此时 来源:学科网ZXXK34GFm( 341)GOm(34 ,0)G mm 练习练习1、思路点拨思路点拨 1第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQDC列方程 2第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准 确的示意图，先得到结论 3第（3）题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线 可以构造相似三角形 满分解答满分解答 （1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4) 2 131 4(2)(8) 424 yxxxx （2）直线DB的解析式为 1 4 2 yx 由点P的坐标为(m, 0)，可得， 1 ( ,4) 2 M mm 2 13 ( ,4) 42 Q mmm 所以MQ 22 1131 (4)(4)8 2424 mmmmm 当MQDC8时，四边形CQMD是平行四边形 解方程，得m4，或m0（舍去） 2 1 88 4 mm 此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6) 所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分 所以四边形CQBM是平行四边形 图2 图3 （3）存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4) 考点伸展：考点伸展：第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为 1 ( ,(2)(8) 4 xxx 如图3，当DBQ90时， 所以 1 2 QGBH GBHD 1 (2)(8) 1 4 82 xx x 解得x6此时Q(6,4) 如图4，当BDQ90时， 所以2 QGDH GDHB 1 4(2)(8) 4 2 xx x 解得x2此时Q(2,0) 图3 图4 练习练习2、思路点拨思路点拨 1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D有两个 2当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合AMB90的点M有2个；当直线l与圆相切 时，符合AMB90的点M只有1个 3灵活应用相似比解题比较简便 满分解答满分解答 （1）由， 2 333 3(4)(2) 848 yxxxx 得抛物线与x轴的交点坐标为A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x

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