吉林省长春实验高中2019届高三第五次月考 理科数学（解析版）

1、高三数学试卷（理科）高三数学试卷（理科） 第第卷卷 1.已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析：先化简集合 A，求得后再求 详解：由题意得， ， 故选 C 点睛：进行集合间的运算时要注意运算的顺序，若条件中给出的集合需要化简时要先化简 2.若复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由，得，故选 A 3.若向量，则（ ） A. B. 5 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 , 故选 B. 4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1，靶中各圆的半径依次加 1，在靶中随机取一点，则此 点取黑色部分（7 环到 9 环）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析： 分析：根据面积型的几何概型求解 详解： 由几何概型概率公式可得，所求概率为 故选 D 点睛：根据几何概型概率公式求概率时，关键是如何确定所有基本事件构成的平面区域的面积以及所求概 率对应的事件构成的平面区域的面积，然后根据公式求解 5.若变量满足约束条件，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：画

2、出可行域，将变形为，然后平移直线找到最优解后可求得 z 的最小 值 详解：画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示） 由得平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点 A 时，直 线在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值 由解得，故点 故选 B 点睛：求目标函数的最值时，将函数转化为直线的斜截式的形式：，通 过求直线的截距 的最值间接求出z的最值，解题时要分清 z 与截距 间是正比还是反比的关系 6.在公差为 2 的等差数列中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根据等差数列中的基本量间的关系，借助于进行计算 详解：由题意得 故选 B 点睛：等差数列中关于项的计算问题，要注意的变化与运用，对于条件求值的问题，还要注 意整体代换的运用 7.某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为 ,则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 该几何体为一棱长为 6 的正方体掏掉一个棱长为 2 的小正方体，再放置进去一个半径为 1 的球，所以体积 为. 故选 A. 8.已知圆 ：与圆关于 轴对称， 为圆上的动点，当 到直线的距离最小时， 的

3、横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 圆的方程为：，过 M（3，-4）且与直线 y=x+2 垂直的直线方程为 y=-x-1,代入 ，得 ，故当 Q 到直线 y=x+2 的距离最小时，Q 的坐标为 9.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍 生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的 世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( ) A. 是偶数?，? B. 是奇数?，? C. 是偶数?， ? D. 是奇数?，? 【答案】D 【解析】 根据偶数项是序号平方再除以 ，奇数项是序号平方减 再除以 ，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框 图， 结束，所以第二个框应该 填，故选 D. 10.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真

4、正的嫌疑人，现有四条明确的信 息： （1）此案是两人共同作案； （2）若甲参与此案，则丙一定没参加； （3）若乙参与此案，则丁一定参与； （4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与. 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是 A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 甲、丁 【答案】C 【解析】 分析：对四个选项逐一分析、排除可得答案 详解：若甲、乙参与此案，则与信息（2）， （3）， （4）矛盾，故 A 不正确 若乙、丙参与此案，则与信息（1）， （3）矛盾，故 B 不正确 若丙、丁参与此案，则信息全部符合，故 C 正确 若甲、丁参与此案，则与信息（1）， （4）矛盾，故 D 不正确 故选 C 点睛：本题主要考查推理的应用，此类问题的解法主要是根据反证法的思想，对给出的每一选项要逐一分 析，看是否与题意符合，然后通过排除得到答案 11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，若在上单调递 减，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题可知，又在上单调递减，所以 ，得：，故得 的取值范围为 ，故选 D 12.设双曲线 ：的左顶点与右焦点分别为 ， ，以线

5、段为底边作一个等腰， 且边上的高.若的垂心恰好在 的一条渐近线上，且 的离心率为 ，则下列判断正确的是（ ） A. 存在唯一的 ，且 B. 存在两个不同的 ，且一个在区间内，另一个在区间内 C. 存在唯一的 ，且 D. 存在两个不同的 ，且一个在区间内，另一个在区间内 【答案】A 【解析】 由题意可设，可得的垂心 H，因为的垂心恰好在 的一条渐近 线上，所以 ，所以存在唯一的 ，且，当时无 零点，选 A. 点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上 (2)定理法：利用零点存在性定理进行判断 (3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化 为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断 第第卷卷 二、填空题二、填空题 13.若是函数的一个极值点，则实数_ 【答案】3 【解析】 .，得. 经检验，符合题意. 故答案为：3. 14.设正项等比数列的前 项和为，若，则的最小值为_. 【答案】4 【解析】 分析：由得到等比数列的公比 ，然后再根据基本不等式求解 详解：设等比

6、数列的公比为 ， ， ，当且仅当，即时等号成立 的最小值为 4 点睛：利用基本不等式求最值时要注意不等式成立的条件，即“一正二定三相等” ，且三个条件缺一不可， 解题时要说明等号成立的条件 15.若的展开式中的系数为 80，则_. 【答案】 【解析】 分析：中的系数与的积，加上中 的系数与的系数的积就是展开式的系数。 详解：展开式通项为， 令，则，令，则， ，解得， 故答案为2. 点睛：二项式的展开式的通项为，由此通项公式可求展开式中的特定项。如果是两个 （或多个）式子相乘，可在第个式子中取一项相乘，只要未知数的次数满足要求，这时要注意不能遗漏. 16.在四面体中，平面，点 为的重心，若四面体的外 接球的表面积为，则_. 【答案】2 【解析】 分析：结合题意先确定的外心 O 的位置，进而求得外接圆的半径然后根据四面体外接球的表 面积求得外接球的半径，由此可求得，最后根据 求解即可得到结论 详解：设 BC 的中点为 E 点 是的重心， 设的外心为 O，由题意得点 O 在 AE 上， 令，则有，即，解得 又平面， 四面体的外接球的半径， 由题意得， 解得， 点睛：本题求四面体外接球半径的方

7、法具有一般性，其条件是在三棱锥中，平面，设 外接圆的半径为 ，外接球半径为 ，则 三、解答题三、解答题 17.在中，角的对边分别为，已知， （1）求角 的大小； （2）求 的值 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 分析：（1）由条件及三角变换可得，从而，解得 ，于是可得 （2）由正弦定理可得， 又，于是得，然后根据余弦定理求得，于是可得结论 详解：（1）， ， ， ， 解得（舍去） 又， . （2）由及正弦定理的， 又， ， 在中，由根据余弦定理得， . 点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转 化，以达到求解的目的 （2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易 被忽视，解题时要注意 18.如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，分别是棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 分析：（1）由可得又由题意得平面，故有，于是平面，根据 面面垂直的判定可得结论成立 （2）由题意建立空间直角坐标系，根据条件求得平面的法向量 ，又平面的一个法

8、向量为，然后根据及图形可得所求余弦 值 详解：(1)证明：因为， 是棱的中点， 所以 又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且， 所以平面， 又平面， 则 因为， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，故可以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 故， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以. 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 点睛：（1）证明空间中的位置关系时要严格按照相关定理的要求书写解题过程，特别是对于定理中的关键词， 在解题过程中要得到体现 （2）根据空间向量的运算得到两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出所求的二面角为锐角还 是钝角，然后才能得到结论 19.自 2013 年 10 月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合 作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州-福州-广州-海口-北海 （广西）-河内-吉隆坡-雅加达-科伦坡-加尔各答-内罗毕-雅典-威尼斯的个城市中选择 个城市建设自己 的工业厂房，根据这个城

9、市的需求量生产某产品，并将其销往这个城市. （1）求所选的 个城市中至少有 个在国内的概率； （2）已知每间工业厂房的月产量为万件，若一间厂房正常生产，则每月或获得利润万；若一间厂房 闲置，则该厂房每月亏损万，该公司为了确定建设工业厂房的数目，统计了近 年来 这个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表： 月需求量（单位：万件） 100110120130 月份数 6241812 若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工 业厂房多少间？ 【答案】(1)；(2)12 间. 【解析】 分析：（1）根据对立事件的概率及古典概型求解即可 （2）设该产品每月的总利润为 ，分别求出 时每月总利润的数学期望，根据其中期望最大的来决定建设厂房的数量 详解：（1）记事件 为“该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内” ， 则， 所以该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的概率为. （2）设该产品每月的总利润为 ， 当时，万元 当时， 的分布列为 所以万元. 当时， 的分布列为 所以万元. 当时， 的分布列为 所以万元. 综上可知，当时万元最大，故建设厂房 12 间 点睛：（1）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计 算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力 （2）在实际问题中，一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小 (或最大)的方案作为最优方案 20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为 ，且过点，圆 是以线 段为直径的圆，经过点 且倾斜角为的直线与圆 相切. （1）求椭圆及圆 的方程； （2）是否存在直线 ，使得直线 与圆 相切，与椭圆交于两点，且满足？若存在，请 求出直线 的方程

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