吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题（解析版）

1、吉林省长春实验高中吉林省长春实验高中 20192019 届届+ +第五次月考第五次月考 文科数学文科数学 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 Ax|x21） ，Bx|x0） ，则 AB A. （，1 B. 1，） C. 1，0 D. 0，1 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一元二次不等式的解法化简集合 ，由并集的定义可得结果. 【详解】因为， 所以由并集的定义可得，故选 A. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合. 2.已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由得，得 所以.故选 C. 3.若向量，则（ ） A. B. 5 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 , 故选 B. 4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1，靶中各图的半径依次加 1，在靶中随

2、机取一点，则此 点取自黑色部分（7 环到 9 环）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选 A. 5.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 点睛：本题考查的是三角函数中的求值问题.在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见 这类题目一般的解决方法为配凑角：即将要求的式子通过配凑，把要求的角用已知角表示，得到与已知角 的关系，进而利用诱导公式，二倍角公式展开求值即可. 6.若变量满足约束条件，则的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 约束条件对应的可行域为三角形区域，三个顶点为当直线经 过点（2，-1）时取得最大值为 4. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可 行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一 般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 7.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径为 1，则该几何体的

3、体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 该几何体为一棱长为 6 的正方体掏掉一个棱长为 2 的小正方体，再放置进去一个半径为 1 的球，所以体积 为 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何 体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看 俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高 度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8.已知圆 ：与圆关于 轴对称， 为圆上的动点，当 到直线的距离最小时， 的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 圆的方程为：，过 M（3，-4）且与直线 y=x+2 垂直的直线方程为 y=-x-1,代入 ，得 ，故当 Q 到直线 y=x+2 的距离最小时，Q 的坐标为 9.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍 生原理数列中的每

4、一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的 世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( ) A. 是偶数?，? B. 是奇数?，? C. 是偶数?， ? D. 是奇数?，? 【答案】D 【解析】 根据偶数项是序号平方再除以 ，奇数项是序号平方减 再除以 ，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框 图， 结束，所以第二个框应该 填，故选 D. 10.已知倾斜角为的直线 交双曲线于两点，若线段的中点为，则 的离 心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设 ,因为 AB 的中点为 P(2,-1) ,所以 又 两式相减并整理可得 解得 ，从而离心率 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两 种方法：求出 a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次

5、式，结合 b2c2a2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等 式)即可得 e(e 的取值范围) 11.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息： （1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与； （4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丁 D. 丙、丁 【答案】D 【解析】 若甲乙参加此案，则不符合（3） ；若乙丙参加此案，则不符合（3） ；若甲丁参加此案，则不符合（4） ；当 丙丁参加此案，全部符合. 故选 D. 12.已知函数，且函数恰有 9 个零点，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 ，令解得， 令解得，所以函数在 上单调递增，在（-1,1）上单调递减，所以 如图所示， 令 ，由图可知的零点为 ， 由图可知恰有 9 个零点等价于方程共有 9 个实数根， 等价于 解得. 点睛：已知函数零点

6、(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条 件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函 数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象， 然后数形结合求解 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题把答案填在答题卡中的横线上小题把答案填在答题卡中的横线上 13.设函数，则_. 【答案】 【解析】 14.在中，则_. 【答案】 【解析】 由正弦定理得则. 15.若曲线关于直线对称，则 的最小值为_. 【答案】 【解析】 ， , , 又， 所以 的最小值为. 16.在四面体 ABCD 中，DA平面 ABC，ABAC，AB4，AC3，AD1，E 为棱 BC 上一点，且平面 ADE平 面 BCD，则 DE_ 【答案】 【解析】 【分析】 作，由面面垂直的性质可得 ，由平面得 ，可证明平面， ，由面积相等可的值，再由勾股定理可得结果. 【详解】 作，因为平面平面， 所以平面， ， 因为平面，所以 ， 又因为平面， 所以， 因为， 所以， 因为

7、平面，所以， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理，属于中档题. 解答空间几何体中垂直 关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有 关的定理，找出足够的条件进行推理. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题：（一）必考题： 17.已知公差不为零的等差数列an）满足 a15，且 a3，a6，a11成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bnan3n1，求数列bn的前 n 项和 Sn 【答案】 （1）an2n3； （2）Sn（n1）3n-1. 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列中，且成等比数列列出关于公差 的方程，解方程可得 的值，从而可得 数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可 得结果. 【详解】 （1）设等差数列an的公差为 d，因为 a3，a6，a11成等比数列， 所以，即（a15d）2（a12d） （a110d） ， 化简得 5

8、d2a10 又 a15，所以 d2，从而 an2n3 （2）由（1）可得， 所以 Sn530731932 所以 3Sn=531732933（2n3）3n， 以上两个等式相减得， 化简得 Sn（n1）3n-1 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式与等差数列的通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中 档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前 项和时，可采用“错位相减 法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达 式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 18.如图，三棱锥 BACD 的三条侧棱两两垂直，BCBD2，E，F，G 分别是棱 CD，AD，AB 的中点 （1）证明：平面 ABE平面 ACD； （2）若四面体 BEFG 的体积为 ，且 F 在平面 ABE 内的正投影为 M，求线段 CM 的长 【答案】(1)见解析.（2）见解析. 【解析】 试题分析：(1)先证明平面，又平面，可得平面平面. （2）由（1）知平面，因为平面，所以，结合 为的中点，得为的中点， 由四面体体的体积为 ，解得，进而可求得.

9、试题解析：(1)证明：因为， 是棱的中点，所以， 又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且， 所以平面，则 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由（1）知平面，因为平面， 所以 又 为的中点，所以为的中点， 因为， 所以四面体体的体积为 ， 则 在中， 在中，. 19.某大型超市在 2018 年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有 2 个红球，1 个黄球和 1 个蓝球（这些 小球除颜色外大小形状完全相同） ，从中随机一次性取 2 个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱. 活动另附说明如下： 凡购物满 100（含 100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； 凡购物满 188（含 188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会； 若取得的 2 个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个 10 元的红包； 若取得的 2 个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个 5 元的红包； 若取得的 2 个小球只有 1 个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个 2 元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前 20 位顾客的购物消费数据（单位：元） ，绘制得到如图所示的茎叶图. （1）求这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖） ； （2）求这 20 位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分） ； （3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金 10 元，5 元，2 元的概率. 【答案】 （1）14（2）131（3）见解析 【解析】 试题分析：（）先计算这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数，再计算抽奖总次数， （）根据平均数定义 求平均数，从数据确定中位数， （）先确定所有结果数，再根据古典概型概率公式确定对应概率. 试题解析：解：（1）这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数

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