2018年全国高等院校统一招生考试全国Ⅲ理科数学试卷（含答案）

1、绝密绝密启用前启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合|10Ax x ，012B ，则AB A 0B1C12，D012， 21i2i A3i B3i C3iD3i 3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边 的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木 构件的俯视图可以是 4若 1 sin 3 ，则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 5 5 2 2 x x 的展开式中 4 x的系数为 A10B20C40D80 6直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两

2、点，点P在圆 2 2 22xy上，则ABP面积的取 值范围是 A26，B48，C23 2 ，D2 23 2 ， 7函数 42 2yxx 的图像大致为 8某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的 10 位 成员中使用移动支付的人数，2.4DX ，46P XP X，则p A0.7B0.6C0.4D0.3 9ABC的内角ABC，的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为 222 4 abc ，则C A 2 B 3 C 4 D 6 10设ABCD，是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3，则三棱 锥DABC体积的最大值为 A12 3B18 3C24 3D54 3 11设 12 FF，是双曲线 22 22 1 xy C ab ：（00ab，）的左、右焦点，O是坐标原点过 2 F作C的一条渐 近线的垂线，垂足为P若 1 6PFOP，则C的离心率为 A5B2C3D2 12设 0.2 log0.3a ， 2 log 0.3b ，则 A0ababB0abab C0ababD0abab 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，

3、共 20 分 13已知向量= 1,2a，= 2, 2b，= 1,c若2ca + b，则_ 14曲线1 exyax在点01，处的切线的斜率为2，则a _ 15函数 cos 3 6 f xx 在0，的零点个数为_ 16已知点1 1M ，和抛物线 2 4Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若 90AMB ，则k _ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 等比数列 n a中， 153 14aaa， （1）求 n a的通项公式； （2）记 n S为 n a的前n项和若63 m S，求m 18 （12 分） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为 比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种 生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了 如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种

4、生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过 m的工人数填入下面的列联表： 超过m不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ， 2 P Kk0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 19 （12 分） 如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的 点 （1）证明：平面AMD平面BMC； （2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 20 （12 分） 已知斜率为k的直线l与椭圆 22 1 43 xy C：交于A，B两点，线段AB的中点为10Mmm ， （1）证明： 1 2 k ； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB 0 证明：FA ，FP ，FB 成等差数列， 并求该数列的公差 21 （12 分） 已知函数 2 2ln 12f xxaxxx （1）若0a ，证

5、明：当10x 时， 0f x ；当0x 时， 0f x ； （2）若0x 是 f x的极大值点，求a （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为 cos sin x y ， （为参数） ，过点 02，且倾斜角 为的直线l与O交于AB，两点 （1）求的取值范围； （2）求AB中点P的轨迹的参数方程 23选修 45：不等式选讲（10 分） 设函数 211f xxx （1）画出 yf x的图像； （2）当0x， f xaxb，求ab的最小值 参考答案： 123456789101112 CDABCADBCBCB 13. 1 2 14.3 15.3 16.2 17.(12 分) 解：（1）设 n a的公比为q，由题设得 1n n aq . 由已知得 42 4qq，解得0q （舍去） ，2q 或2q . 故 1 ( 2)n n a 或 1 2n n a . （2）若 1 ( 2)n n a ，则 1 ( 2) 3 n n S .由63 m S 得( 2)

6、188 m ，此方程没有正整数解. 若 1 2n n a ，则21 n n S .由63 m S 得264 m ，解得6m . 综上，6m . 18.（12 分） 解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下： （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟， 用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式 的效率更高. （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二 种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生 产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎

7、 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第 二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二 种生产方式的效率更高. 以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知 7981 80 2 m . 列联表如下： 超过m不超过m 第一种生产方式155 第二种生产方式515 （3）由于 2 2 40(15 155 5) 106.635 20 20 20 20 K ，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差 异. 19.（12 分） 解：（1）由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BCDM. 因为 M 为CD上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DMCM. 又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC. 而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC. （2）以 D 为坐标原点,DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz. 当三棱锥 MABC 体积最大

8、时，M 为CD的中点. 由题设得(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)DABCM， ( 2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AMABDA 设( , , )x y zn是平面 MAB 的法向量,则 0, 0. AM AB n n 即 20, 20. xyz y 可取(1,0,2)n. DA 是平面 MCD 的法向量,因此 5 cos, 5| DA DA DA n n n ， 2 5 sin, 5 DA n， 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2 5 5 . 20.（12 分） 解：（1）设 1221 ( ,), (,)AyxyxB，则 2222 1212 1,1 4343 yxyx . 两式相减，并由 1 2 2 1 y x y k x 得 1122 0 43 yxy k x . 由题设知 1212 1, 22 xyxy m ，于是 3 4 k m . 由题设得 3 0 2 m，故 1 2 k . （2）由题意得(1,0)F，设 33 (,)P xy，则 331122 (1,)(1,)(1,)(0,0)yxxyxy. 由（1）及题设得 332121 3()1,()20yyxxyxm . 又点 P 在 C 上，所以 3 4 m ，从而 3 (1,) 2 P， 3 | 2 FP . 于是 2 222 1 11 11 |(1)(1)3(1)2 42 xx FAxxy . 同理 2 | 2 2 x FB . 所以 12 1 | 4()3 2 FAFBxx . 故2| |FPFAFB ，即|,|,|FAFPFB

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