广西2018届高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

1、广西桂林市第十八中学广西桂林市第十八中学 20182018 届高三上学期第三次月考届高三上学期第三次月考 数学（理）试题数学（理）试题 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ， 故选：C 2.已知,若,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ， ，即又，即， 故选：B 3.已知随机变量 服从正态分布，且，则实数 的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：正态分布曲线关于均值对称，故均值,选 A. 考点：正态分布与正态曲线. 4.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 又 选 B 5.下列程序框图中，输出的 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由程序框图知： 第一次循环后 2 第二

2、次循环后 3 第三次循环后 4 第九次循环后 10 不满足条件 ，跳出循环则输出的 为 故选B 6.已知函数，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 ,又为奇函数， ，又 故选：A 7.若双曲线的焦距 4，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 双曲线方程为：，m0 ，又 ， 该双曲线的渐近线方程为 故选：D 8.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次 最大值，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 是函数含原点的递增区间 又函数在上递增， 得不等式组 ，得 又 又函数在区间上恰好取得一次最大值， 根据正弦函数的性质可知 ，即函数在 处取得最大值，可得 综上，可得 故选 D 【点睛】本题主要考查了复合函数单调区间，正弦函数的性质-：单调性和最值注意对三角函数基础知识的 理解和灵活运用 9.多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图所示，由三棱锥的三视图得：该三棱锥的底面是腰长为 6 的等腰直角三角形， 设该三棱锥的

3、外接球的半径为球心为 则 故则该三棱锥的外接球的表面积为 选 D 10.在中，分别为内角的对边， 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由余弦定理可得： 又 即 又， 故选：B 11.抛物线的焦点 F 已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点.且满足，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：如图所示，过分别作准线的垂线，垂足分别为，设，连接， 由抛物线的定义，得，在梯形中，由余弦定理得： ，整理得，因为，则 ，即，所以，所以 ，故选 D 考点：抛物线的定义及其简单的几何性质 【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、基本不等式求解最值、 余弦定理等知识的应用，解答中由抛物线的定义和余弦定理得：，在利用基本不等式， 得到是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应 用，属于中档试题 12.已知数列满足：且，数列与的公共项从小到大排列成数列 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 对任意，

4、令 可得 ，则 对任意 ，都有 又 ， ， 数列 是首项、公比均为 2 的等比数列，则 设 . 下面证明数列 是等比数列 证明： 假设 ，则 ， 不是数列 中的项； 是数列 中的第项 从而 所以 是首项为 8，公比为 4 的等比数列 选 B 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，解题时要认真审题，注意等比数列性质 的合理运用 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知满足不等式，则的最大值为_ 【答案】2 【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=x+2y 得 y= x+ z， 平移直线 y= x+ z 由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 A 时，直线 y= x+ z 的截距最大，此时 z 最大， 由，即， 即 A（0，1） ，此时 z=0+2=2， 故答案为：2 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需 要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要

5、注意让其斜率与约束条件 中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或 边界上取得. 14.的展开式中含项的系数为_(用数字作答） 【答案】40 【解析】 的展开式的通项公式为 令 ，得到项的系数为 15.已知 为的外心，且，则_ 【答案】2 【解析】 如图，分别取 AB，AC 中点 D，E，连接 OD，OE，AO，O 为ABC 的外心； ODAB，OEAC； 由得； ； x+4y=2； +得： ； 4+得：； 联立得， ； 解得，； ； 故答案为：2 16.已知函数，若，则正数 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 a0，f（x）=x+alnx，, f（x）在上单调递增，不妨设 则， ， 即， 即在上单调递增 ,即，又 故 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知是正项数列的前 项和，. （1）证明：数列是等差数列； （2）当时，求数列的前 项和. 【答案】(1)详见解析;(2) . 【解析】

6、试题分析; （1）当时，分别得到，作差化简，可得，又当时，可得 ，即可证明数列是等差数列 （2）由（1）及，得，由错位相减法可得数列的前 项和 试题解析：（1）当时，有 ， 又， 当时，有 ， 数列是以为首项，为公差的等差数列 （2）由（1）及，得， 则， 18.在某公司的职工食堂中，食堂每天以 3 元/个的价格从面包店购进面包，然后以 5 元/个的价格出售.如 果当天卖不完，剩下的面包以 1 元/个的价格卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求 量的频率分布直方图如图所示.食堂某天购进了 90 个面包，以 (个)(其中)表示面包的需求量， （元）表示利润. （1）根据直方图计算需求量的中位数； （2）估计利润 不少于 100 元的概率； （3）在直方图的需求量分组中，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求 的数学期望. 【答案】(1)85 个;(2) ;(3)142. 【解析】 试题分析：（1）需求量的中位数 (个） （2）由题意可得. 设利润 不少于 100 元为事件 ，利润 不少于 100 元时， 可得，即，由直方图可知，由此 可估计当时的概率. （3

7、）由题意，可得利润 的取值可为：80,120,160,180,分别求得 ，得到利润 的分布列，则 的数学期望可求. 试题解析：（1）需求量的中位数 (个）（其它解法也给分） （2）由题意，当时，利润, 当时，利润， 即. 设利润 不少于 100 元为事件 ，利润 不少于 100 元时，即， ，即，由直方图可知，当时， 所求概率： （3）由题意，由于， 故利润 的取值可为：80,120,160,180, 且， 故得分布列为： 利润的数学期望. 19.如图，在三棱锥中，分别为线段上的点，且, . （1）求证：平面； （2）若与平面所成的角为 ，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)详见解析;(2) . 【解析】 【详解】试题分析; （1）连接，据勾股定理可证，即 进而证得平面,又由勾股定理证得，于是平面 （2）由（1）知两两互相垂直，建立直角坐标系，由空间向量的夹角公式可求平面与 平面所成锐二面角的余弦值. 试题解析：（1）证明：连接，据题知 在中， ，且 ，即 平面,平面， 在中， 则， ，平面 （2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系， 且与平面所成的角为 ，

8、有，则 又由（1）知，平面 为平面的一个法向量 设平面的法向量为，则 ，令，则 为平面的一个法向量 故平面与平面的锐二面角的余弦值为. 20.已知椭圆的左，右焦点分别为.过原点 的直线 与椭圆交于两点，点 是椭 圆 上的点，若，且的周长为. （1）求椭圆 的方程； （2） 设椭圆在点 处的切线记为直线 ，点在 上的射影分别为，过 作 的垂线交 轴于点 ， 试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) ;(2)1. 【解析】 试题分析; （1）设，则，设， ，以及 ，由,由椭圆的定义可得，结合 ，综合可得：，可得椭圆 的方程； （2）由（1）知，直线 的方程为：，由此可得 .，又，的方程为，可得 则可得，又，.，故. 当直线 平行于 轴时，易知，结论显然成立. 综上，可知为定值 1. 试题解析：（1）设，则，设，由， ，将代入，整体消元得： ， 由,且 ， 由椭圆的对称性知， 有，则 ，综合可得： 椭圆 的方程为：. （2）由（1）知，直线 的方程为： 即：，所以 . ，的方程为，令，可得， 则 又点 到直线 的距离为，. . 当直线 平行于 轴时，易知，结论显

9、然成立. 综上，. 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几 何的综合应用，难度较大 21.已知函数. （1）当时，证明:有两个零点； （2）已知正数满足，若,使得，试比较与的大小. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 试题分析; （1）据题知定义域为 ，求导得：，由此可得函数的单调性，进而可得 ，发现；，由零点存在定理可知在和各有 1 个零点.即有两个 零点. （2）由，而 作差 令，构造函数，讨论其单调性可知. 故，又根据在上是增函数，即. 试题解析：（1）据题知，求导得： 令，有；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增， 令，有；令，有 故在和各有 1 个零点.有两个零点. （2）由，而 令， 则， 函数在上单调递增，故. ， 又在上是增函数，即. 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.在直角坐标系中，圆 的参数方程为( 参数)，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，直线 的极坐标方程为. （1）求 的极坐标方程； （2）若射线与圆 的交点为，与直线 的交点为 ，求的取值范围. 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）圆 C 的参数方程消去参数 ，能求出圆 C 的普通方程，再由 x=cos，y=sin，能求出圆 C 的极坐标方程 （2）设 P（1，1） ，则有 1=cos1，Q（2，1） ，则，=12，结合 tan

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