2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

1、2018-2019 学年黑龙江省实验中学高二（上）期中数学试学年黑龙江省实验中学高二（上）期中数学试 卷（理科）卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.抛物线 y=2x2的准线方程是（ ） A. B. C. D. = 1 2 = 1 2 = 1 8 = 1 8 2.若实数 k 满足 0k9，则曲线 -=1 与曲线- =1 的（ ） 2 25 2 9 2 25 2 9 A. 焦距相等B. 实半轴长相等C. 虚半轴长相等D. 离心率相等 3.如图所示，三棱锥 O-ABC 中， = ， = ， = 且，则=（ ） = 3 ， = A. 1 4 + 1 3 + 1 3 B. 1 4 + 1 3 + 1 3 C. 3 4 + 1 2 + 1 2 D. 3 4 + 1 2 + 1 2 4.已知直线 x-y+m=0 与圆 O：x2+y2=1 相交于 A，B 两点，且AOB 为正三角形，则 实数 m 的值为（ ） A. B. C. 或D. 或 3 2 6 2 3 2 3 2 6 2 6 2 5.设 F1、F2分别是双曲线 C： - =1 的左右焦点，点 P 在双曲线 C

2、的右支上，且 2 4 2 5 =0，则|+=（ ） 1 2 1 2| A. 4B. 6C. D. 2 144 7 第 2 页，共 22 页 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在上且=，N 为 B1B 的中点， 1 1 2 1 则|为（ ） A. B. C. D. 15 6 6 6 21 6 15 3 7.如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC-A1B1C1中， D、E 分别为 BB1、A1C1的中点，则异面直线 AD、CE 所成 角的余弦值为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 1 5 D. 4 5 8.在 x 轴、y 轴上截距相等且与圆（x+2）2+（y-3）2=1 相切的直线 L 共有（ 22 ）条 A. 2B. 3C. 4D. 6 9.已知双曲线的左、右焦点分别是 F1、F2，以 F2为圆心 ： 2 2 2 2 = 1(0，0) 和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M，若F1MF2为等腰三角形， 则 C 的离心率是（ ） A. B. C. 3D. 5 4 3 5 3 10. 已知双曲线的两个顶点分别为 A、B，点 P 为双曲线上除 2

3、 2 2 2 = 1(0，0) A、B 外任意一点，且点 P 与点 A、B 连线的斜率分别为 k1、k2，若 k1k2=3，则双 曲线的渐进线方程为，（ ） A. B. C. D. = = 2 = 3 = 2 11. 如图，过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线交抛物 线于点 A、B，交其准线 l 于点 C，若点 F 是 AC 的中点， 且|AF|=4，则线段 AB 的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 16 3 D. 20 3 12. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为 A、B，左、右焦点分别是 2 2 + 2 2 = 1(0) F1，F2，在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1PF2，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 2 3 1 2 5 3 5 1 2 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知椭圆 mx2+3y2-6m=0 的一个焦点为（0，2），则 m 的值是_ 14. 已知椭圆的左、右两焦点 F1、F2，A 为椭圆上一点，且 2 16 + 2 4 = 1 ，则=_ = 1 2( + 1 )， = 1 2( + 2) |

4、 | + | | 15. 已知双曲线两渐近线为 2xy=0，焦点到渐近线的距离为 2，则此双曲线的标准方 程为_ 16. 已知抛物线 C：y2=4x，直线 l 过抛物线焦点 F，l 与 C 有两个交点 A、B，线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则直线 l 的方程为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2+y2-mx-10y+37=0，圆 C 上存在关于 2x-y- 3=0 对称的两点 （1）求圆的标准方程； （2）若直线 l 过点 A（2，0），且与圆 C 相切，求直线 l 的方程 18. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1C1C 是边长为 4 的 正方形，面 ABC面 AA1C1C，AB=3，BC=5 第 4 页，共 22 页 （1）求证：AA1平面 ABC； （2）求底面三角形 ABC 的重心 G 到面 A1BC1的距离 19. 如图所示，四棱锥 S-ABCD 中，SA底面 ABCD，ABC=90，BC=1， = 3 ，ACD=60，E 为 CD 的中点 = 2 3 （1）求证：BC平面 SAE

5、； （2）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值 20. 已知点 A（-1，0），F（1，0），动点 P 满足 = 2| | （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设点 A、B 为轨迹 C 上异于原点 O 的两点，且，若 a 为 = 4 (0) 常数，求证：直线 AB 过定点 M 21. 四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，DAB=60，ADP 为等边三角形 （1）求证：ADPB； （2）若，求二面角 D-PC-B = 2， = 6 的余弦值 22. 已知椭圆 E： + =1（ab0）与 y 轴的正半轴相交于点 M，点 F1，F2为椭圆 2 2 2 2 的焦点，且MF1F2是边长为 2 的等边三角形，若直线 l：y=kx+2与椭圆 E 交于 3 不同的两点 A、B （1）直线 MA，MB 的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值若不是请 说明理由 （2）求ABM 的面积的最大值 第 6 页，共 22 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】 解：根据题意，抛物线 y=2x2的标准方程为 x2=y， 其焦点在 y 轴上，且 2p=， 则 p=， 则抛

6、物线的准线方程为：y=-； 故选：D 根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析抛物线的焦点以及 p 的值， 由抛物线的准线方程即可得答案 本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程 2.【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断 a，b，c 是解决本 题的关键 根据 k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及 a，b，c 的大小关系即可 得到结论 【解答】 解：当 0k9，则 09-k9，1625-k25， 即曲线-=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a2=25，b2=9-k，c2=34- k， 曲线-=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a2=25-k，b2=9，c2=34-k， 即两个双曲线的焦距相等， 故选 A 3.【答案】C 【解析】 解：， =，=（）， =- 故选：C 由，可得=，=（），代入即可 得出 本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、向量平行四边形法则，考查了 推理能力与计算能力，属于基础题 4.【答案】D 【解析】 解：直线 x-y+m=0 与圆 O：x2+y2=1 相交于 A，B 两点，

7、且AOB 为正三角形， 则：AOB 的边长为 1， 则：圆心（0，0）到直线 x-y+m=0 的距离 d=， 解得：m= 故选：D 直接利用等边三角形的性质，进一步利用点到直线的距离公式求出结果 本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用 5.【答案】B 【解析】 解：由双曲线方程得 a2=4，b2=5，c2=9， 即 c=3，则焦点为 F1（-3，0）， F2（3，0）， 第 8 页，共 22 页 点 P 在双曲线 C 的右支上，且=0， F1PF2为直角三角形， 则|+=|2|=|F1F2|=2c=6， 故选：B 根据双曲线的性质求出 c 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化 求解即可 本题主要考查双曲线性质的有意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解 决本题的关键 6.【答案】C 【解析】 解：以 AB，AD，AA1，分别为 x，y，z 轴，建立空间 直角坐标系，则 A（0，0，0），B（1，0，0）， B1（1，0，1），C1（1，1，1） =（1，1，1） =，=（，）， 点 N 为 B1B 的中点， =（1，0，） =（，-，） |= 故选：C 以 AB，AD，A

8、A1，分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，确定向量 、 的坐标，可得 的坐标，从而可得| 本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键 7.【答案】C 【解析】 解：在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D、E 分别为 BB1、A1C1的中点， 以 A 为原点，在平面 ABC 中过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（0，0，0），D（，），C（0，a，0），E（0，a）， =（），=（0，-，a）， 设异面直线 AD、CE 所成角为 ， 则 cos= 异面直线 AD、CE 所成角的余弦值为 故选：C 以 A 为原点，在平面 ABC 中过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AD、CE 所成角的余 弦值 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结 合思想，是中档题 8.【答案】B 【解析】 解：圆的圆心（-2，3），半径是 1， 原点在圆外，与圆（x+2）2+（y-3）2=1 相切， 第 10 页，共 22 页 且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条； 斜率为-1 的直线也有两条，其中一条斜率为-1，；共 3 条 故选：B 与圆（x+2）2+（y-3）2=1 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线，必有过 原点的直线和斜率为-1 的两条直线 本题考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线容易 出错 9.【答案】B 【解析】 解：双曲线的左、右焦点分别是 F1、F2， 以 F2为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M， 若F1MF2为等腰三角形， 可得：2a+b=2c，即 b=2c-2a， 可得 b2=（2c-2a）2， 可得：3c2-8ac+5a2=0， 即 3e2-8e+5=0e1 解得 e= 故选：B 利用双曲线的定义以及已知条件列出方程，转化求解双曲线的离心率即可 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算 能力 10.【答案】C 【解析】 解：根据题意得，A（

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