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四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

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  • 上传时间:2019-04-12
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    • 1、2018-2019 学年四川省眉山一中办学共同体高二(上)期学年四川省眉山一中办学共同体高二(上)期 中数学试卷(理科)中数学试卷(理科) 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1.下列结论正确的个数为( ) A. 梯形可以确定一个平面 B. 若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行 C. 若 l 上有无数个点不在平面 内,则 / D. 如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合 2.平面 的法向量为 =(1,2,-2),平面 的法向量 =(-2,h,k),若 ,则 h+k 的值为( ) A. B. C. 0D. 2 8 6 3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别是 BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( ) A. MN 与垂直 1 B. MN 与 AC 垂直 C. MN 与 BD 平行 D. MN 与平行 11 4.若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120,则直线 l 与平面 所成 的角等于( ) A. B. C. D. 或 120 60 30 60 30 5.已知二面角 -l- 的大小是 ,m,n 是异面直线,

      2、且 m,n,则 m,n 所成的 3 角为( ) A. B. C. D. 2 3 2 3 6 第 2 页,共 24 页 6.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法 向量是( ) A. 1,B. (1, 1) ( 3 3, 3 3, 3 3) C. 1,D. (1,1) ( 3 3, 3 3, 3 3) 7.下列结论中,正确的是( ) A. 若直线 a 平行平面 ,点,则平面 内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有 且只有一条 B. 若 a,b 是两条直线,且,则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面 / C. 若直线 a 与平面 不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行 D. 若 a,b 是两条直线, , 是两个平面,且,则 a,b 是异面直线 8.已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为 , 9 4 底面是边长为的正三角形若 P 为底面 A1B1C1的中 3 心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) A. 120 B. 60 C. 45 D. 30 9.已知平面 与平面 相交,直线 m,则( ) A. 内

      3、必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B. 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C. 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D. 内必存在直线与 m 平行,却不一定存在直线与 m 垂直 10. 在下列命题中: 若向量共线,则向量所在的直线平行; , , 若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面; , , 若三个向量两两共面,则向量共面; , , 已知是空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量 总存在实数 , x,y,z 使得; = + + 其中正确的命题的个数是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3 11. 已知 l,m,n 为不同的直线, 为不同的平面,则下列判断正确的是( ) A. 若,则 / B. 若,则 / C. 若,则 = = D. 若,则 = / 12. 已知 a,b 是异面直线,A、Ba,C、Db,ACb,BDb,且 AB=2,CD=1,则 a 与 b 所成的角是( ) A. B. C. D. 30 45 60 90 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13. 已知向量 =(x,4,1), =(-2,

      4、x,-4),若 ,则 x=_ 14. 如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互 相垂直,则异面直线 AP 与 BD 所成的角为_ 15. 在三棱锥 S-ABC 中,ABC 是边长为 6 的正三角形, SA=SB=SC=15,平面 DEFH 分别与 AB,BC,SC,SA 交于点 D,E,F,H且 D,E 分别是 AB,BC 的中 点,如果直线 SB平面 DEFH,那么四边形 DEFH 的 面积为_ 16. 圆锥的轴截面 HAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为 底面中心,AB 是底面的一条直径,M 为 OH 的中点, 动点 P 在圆锥底面内(包括圆周)若 AMMP,则 点 P 形成的轨迹的长度为_ 第 4 页,共 24 页 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17. 直三棱柱 ABC-ABC中,ACBCAA2,ACB90,D、E 分别为 AB、BB的中点 ()求证:CEAD; ()求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值 18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1, 点 E

      5、为棱 PC 的中点 (1)证明:BEDC; (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (3)求二面角 A-BD-P 的余弦值 19.如图,直棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E 分别是 AB,BB1的 中点,AA1=AC=CB= AB 2 2 ()证明:BC1平面 A1CD ()求二面角 D-A1C-E 的正弦值 20.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD底面 ABCD,侧棱 PA=PD=,PAPD,底面 ABCD 为直角梯形,其中 2 BCAD,ABAD,AB=BC=1,O 为 AD 中点 (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值 (2)求 B 点到平面 PCD 的距离 (3)线段 PD 上是否存在一点 Q,使得二面角 Q-AC-D 的余弦值为 ?若存在, 6 3 求出的值;若不存在,请说明理由 21.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E 是 CD 的中点 ()证明:CD平面 PAE; ()若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四 棱锥

      6、P-ABCD 的体积 第 6 页,共 24 页 22.如图,三棱锥 A-BCD 的侧面ABD 是等腰直角三角形,BAD=90, BD=DC,BDC=120,且 AC=2AB (I)求证:平面 ABD平面 BCD; (II)求二面角 B-AC-D 的余弦值 答案和解析答案和解析 1.【答案】A 【解析】 解:梯形是有一组对边平行的四边形, 由公理 3 的推论 3 可得梯形确定一个平面,故 A 正确; 若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线可能相交或平行或异 面,故 B 错误; 若 l 上有无数个点不在平面 内,则 l 或 l 与 相交,故 C 错误; 如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故 D 错误 故选:A 由平面的基本性质:公理 3 的推论 3 可判断 A;由线线的位置关系和直线和 直线所成角,可判断 B; 由线面的位置关系可判断 C;由面面的位置关系可判断 D 本题考查线线、线面和面面的位置关系,考查空间想象能力和推理能力,属 于基础题 2.【答案】C 【解析】 解:平面 的法向量为=(1,2,-2), 平面 的法向量 =(-2,h,k), , , 解得 h

      7、=-4,k=4, h+k=0 故选:C 由 ,得,由此能求出 h+k 第 8 页,共 24 页 本题考查代数式的和的求法,考查向量平行的性质等基础知识,考查运算求 解能力,是基础题 3.【答案】D 【解析】 解:如图:连接 C1D,BD,在三角形 C1DB 中, MNBD,故 C 正确; CC1平面 ABCD,CC1BD,MN 与 CC1垂直, 故 A 正确; ACBD,MNBD,MN 与 AC 垂直,B 正确; A1B1与 BD 异面,MNBD,MN 与 A1B1不可能平行,D 错误 故选 D 先利用三角形中位线定理证明 MNBD,再利用线面垂直的判定定理定义证 明 MN 与 CC1垂直,由异面直线所成的角的定义证明 MN 与 AC 垂直,故排 除 A、B、C 选 D 本题主要考查了正方体中的线面关系,线线平行与垂直的证明,异面直线所 成的角及其位置关系,熟记正方体的性质是解决本题的关键 4.【答案】C 【解析】 解:直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120, 直线 l 的方向向量与平面 的法向量大的夹角等于 120, 直线 l 的方向向量与平面 的法向量小的夹角等于

      8、60, 直线 l 与平面 所成的角等于 30 故选:C 由已知得直线 l 的方向向量与平面 的法向量小的夹角等于 60,从而得到 直线 l 与平面 所成的角等于 30 本题考查直线与平面所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题, 注意直线的方向向量和平面的法向量的性质的合理运用 5.【答案】C 【解析】 解:如图,过二面角 -l- 内一点 P, 分别作 PAm,PBn, 则 PA,PB,且 l平面 PAB 设平面 PAB 交 l 于 O,则 lOA,lOB, AOB 为二面角 -l- 的平面角, 即AOB=,故APB=, 则异面直线 m、n 所成的角为, 故选:C 过二面角 -l- 内一点 P,分别作 PAm,PBn,设平面 PAB 交 l 于 O,则 AOB 为二面角 -l- 的平面角,由此能求出异面直线 m、n 所成的角 本题考查异面直线所成的角的大小的求法,考查空间想象能力与思维能力, 是中档题 6.【答案】D 【解析】 解:A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1), =(-1,1,0),=(-1,0,1), 设平面 ABC 的一个单位法向量为, 则, 解得=(-,-,-),或=(,) 第 10 页,共 24 页 故选:D 设平面 ABC 的一个单位法向量为,由已知得 ,由此能求出结果 本题考查平面的单位法向量法的求法,是基础题,解题时要注意向量法的合 理运用 7.【答案】A 【解析】 解:若直线 a 平行平面 ,点 P,可得平面 内的直线与直线 a 平行或异面, 则平面 内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有且只有一条,故 A 正确; 若 a,b 是两条直线,且 ab,则直线 a 平行于经过直线 b 的平面或 a,b 在同 一平面内,故 B 错误; 若直线 a 与平面 不平行,则此直线与平面内的直线相交或异面或平行,故 C 错误 若 a,b 是两条直线, 是两个平面,且 a,b,则 a,b 是异面直线或相 交或平行直线,故 D 错误 故选:A 由线面平行的性质和平行公理,可判断 A;由线线和线面的位置关系可判断 B; 由线面的位置

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